Решение С6. Пример 21.

На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение:

Пусть среди написанных чисел   положительных,  отрицательных и  нулей.  Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

 .

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 6, поэтому   — количество целых чисел — делится на 6. По условию , поэтому .  

Таким образом написано 42 числа.

б) Приведём равенство  к виду .

 Так как , получаем, что , откуда .

 Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим  в правую часть равенства ;

 , откуда .   

 Так как , получаем: , , .

То есть отрицательных чисел не более 15.

Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 15.

Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раза написано число -12 и два раза написан 0.

Тогда , удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 42; б) положительных; в) 15.