Элементарное введение в высшую математику. Колесов В.В., Романов М.Н. |
Элементарное введение в высшую математику. Колесов В.В., Романов М.Н.

Оглавление 1. Введение 9 1.1. Что такое математика 9 1.2. Возникновение математики 11 1.3. Разделы математики 19 2. Базовые понятия 23 2.1. Высказывания 23 2.2. Множества 26 2.3. Вещественные числа 30 2.4. Абсолютная величина 34 2.5. Системы координат 35 2.6. Системы счисления 41 3. Комплексные числа 43 3.1. Мнимые и комплексные числа 44 3.2. Арифметические операции 46 3.3. Комплексно сопряженные числа 47 3.4. Тригонометрическая форма 49 3.5. Возведение в целую степень 50 3.6. Извлечение корня 54 3.7. Функции комплексной переменной 56 3.8. Основная теорема алгебры 57 3.9. Упражнения 58 4. Функции 60 4.1. Величины постоянные и переменные 60 4.2. Определение функции 61 4.3. Способы задания функции 63 4.4. Четная и нечетная функции 63 4.5. Периодическая функция 64 4.6. Ограниченная функция 65 4.7. Суперпозиция функций 67 4.8. Обратная функция 68 4.9. Неявная функция 70 4.10. Однозначная и многозначная функции 71 5. Пределы 72 5.1. Определение предела функции 72 5.2. Обобщения понятия предела 76 5.3. Бесконечно малая величина 82 5.4. Бесконечно большая величина 85 5.5. Свойства пределов 86 5.6. Неопределенность вида 0/0 88 5.7. Неопределенность вида оо/оо 92 5.8. Неопределенность вида оо — оо 94 5.9. Первый замечательный предел 95 5.10. Второй замечательный предел 97 5.11. Основные теоремы о пределах 98 5.12. Упражнения 111 6. Непрерывность 113 6.1. Приращения аргумента и функции 113 6.2. Два определения непрерывности 115 6.3. Точки разрыва 117 6.4. Свойства непрерывных функций 120 7. Производные 123 7.1. Определение производной 123 7.2. Геометрический смысл производной 126 7.3. Механический смысл производной 128 7.4. Основные теоремы о производных 130 7.5. Производные элементарных функций 137 7.6. Производные высших порядков 146 7.7. Примеры 149 7.8. Упражнения 155 8. Приложения производных 157 8.1. Возрастание и убывание функции 157 8.2. Экстремумы функции 164 8.3. Наибольшее и наименьшее значения функции 174 8.4. График функции 178 8.5. Уравнение касательной 188 8.6. Правила Лопиталя 189 8.7. Упражнения 193 9. Дифференциалы 197 9.1. Определение дифференциала 197 9.2. Свойства дифференциала 201 9.3. Геометрический смысл дифференциала 202 9.4. Упражнения 203 10. Интегралы 205 10.1. Первообразная 205 10.2. Неопределенный интеграл 206 10.3. Определенный интеграл 215 10.4. Интеграл с переменным верхним пределом 219 10.5. Нахождение площадей 220 10.6. Несобственные интегралы 228 10.7. Упражнения 230 11. Функции нескольких переменных 232 11.1. Графическая интерпретация 234 11.2. Дифференцирование 237 11.3. Экстремумы 242 11.4. Интегрирование 247 11.5. Упражнения 247 12. Ряды 249 12.1. Сходимость ряда 250 12.2. Степенные ряды 257 12.3. Ряды Тейлора и Маклорена 258 12.4. Приближенные формулы 262 12.5. Упражнения 264 13. Векторная алгебра 266 13.1. Векторы 266 13.2. Матрицы 271 13.3. Определители 274 13.4. Системы линейных уравнений 277 13.5. Комплексный случай 299 13.6. Упражнения 300 14. Дифференциальные уравнения 302 14.1. Основные понятия 302 14.2. Разделение переменных 307 14.3. Уравнения вида у' = f(y/x) 310 14.4. Линейные уравнения первого порядка 312 14.5. Линейные уравнения второго порядка 316 14.6. Упражнения 327 15. Математические модели 329 15.1. Динамические системы 331 15.2. Модель Мальтуса 341 15.3. Модель взрыва 343 15.4. Модели маятников 345 15.5. Модель «хищник-жертва» 348 15.6. Модель Лоренца 352 15.7. Упражнения 354 16. Теория вероятностей 356 16.1. События 356 16.2. Вероятность реализации события 359 16.3. Вероятность суммы событий 365 16.4. Вероятность произведения событий 368 16.5. Дискретная случайная величина 370 16.6. Непрерывная случайная величина 376 16.7. Упражнения 382 17. Аналитическая геометрия 385 17.1. Прямая линия на плоскости 385 17.2. Кривые второго порядка 389 17.3. Эллипс 391 17.4. Гипербола 393 17.5. Парабола 396 17.6. Упражнения 398 18. Численные методы 401 18.1. Оценка точности вычислений 402 18.2. Аппроксимация функций 406 18.3. Численное дифференцирование 409 18.4. Численное интегрирование 412 18.5. Отыскание корней уравнений 415 18.6. Решение задач Коши 422 18.7. Решение краевых задач 424 18.8. Подбор эмпирических формул 426 18.9. Упражнения 430 19. Справочник 432 19.1. Латинский и греческий алфавиты 432 19.2. Римские числа 433 19.3. Математические обозначения 434 19.4. Алгебраические формулы 435 19.5. Тригонометрические формулы 436 19.6. Геометрические формулы 440 19.7. Формулы анализа 455 19.8. Графики 460 20. Литература 466 21. Предметный указатель 468
|