Элементарное введение в высшую математику. Колесов В.В., Романов М.Н.

Оглавление
1. Введение 9
1.1. Что такое математика 9
1.2. Возникновение математики 11
1.3. Разделы математики 19
2. Базовые понятия 23
2.1. Высказывания 23
2.2. Множества 26
2.3. Вещественные числа 30
2.4. Абсолютная величина 34
2.5. Системы координат 35
2.6. Системы счисления 41
3. Комплексные числа 43
3.1. Мнимые и комплексные числа 44
3.2. Арифметические операции 46
3.3. Комплексно сопряженные числа 47
3.4. Тригонометрическая форма 49
3.5. Возведение в целую степень 50
3.6. Извлечение корня 54
3.7. Функции комплексной переменной 56
3.8. Основная теорема алгебры 57
3.9. Упражнения 58
4. Функции 60
4.1. Величины постоянные и переменные 60
4.2. Определение функции 61
4.3. Способы задания функции 63
4.4. Четная и нечетная функции 63
4.5. Периодическая функция 64
4.6. Ограниченная функция 65
4.7. Суперпозиция функций 67
4.8. Обратная функция 68
4.9. Неявная функция 70
4.10. Однозначная и многозначная функции 71
5. Пределы 72
5.1. Определение предела функции 72
5.2. Обобщения понятия предела 76
5.3. Бесконечно малая величина 82
5.4. Бесконечно большая величина 85
5.5. Свойства пределов 86
5.6. Неопределенность вида 0/0 88
5.7. Неопределенность вида оо/оо 92
5.8. Неопределенность вида оо — оо 94
5.9. Первый замечательный предел 95
5.10. Второй замечательный предел 97
5.11. Основные теоремы о пределах 98
5.12. Упражнения 111
6. Непрерывность 113
6.1. Приращения аргумента и функции 113
6.2. Два определения непрерывности 115
6.3. Точки разрыва 117
6.4. Свойства непрерывных функций 120
7. Производные 123
7.1. Определение производной 123
7.2. Геометрический смысл производной 126
7.3. Механический смысл производной 128
7.4. Основные теоремы о производных 130
7.5. Производные элементарных функций 137
7.6. Производные высших порядков 146
7.7. Примеры 149
7.8. Упражнения 155
8. Приложения производных 157
8.1. Возрастание и убывание функции 157
8.2. Экстремумы функции 164
8.3. Наибольшее и наименьшее значения функции 174
8.4. График функции 178
8.5. Уравнение касательной 188
8.6. Правила Лопиталя 189
8.7. Упражнения 193
9. Дифференциалы 197
9.1. Определение дифференциала 197
9.2. Свойства дифференциала 201
9.3. Геометрический смысл дифференциала 202
9.4. Упражнения 203
10. Интегралы 205
10.1. Первообразная 205
10.2. Неопределенный интеграл 206
10.3. Определенный интеграл 215
10.4. Интеграл с переменным верхним пределом 219
10.5. Нахождение площадей 220
10.6. Несобственные интегралы 228
10.7. Упражнения 230
11. Функции нескольких переменных 232
11.1. Графическая интерпретация 234
11.2. Дифференцирование 237
11.3. Экстремумы 242
11.4. Интегрирование 247
11.5. Упражнения 247
12. Ряды 249
12.1. Сходимость ряда 250
12.2. Степенные ряды 257
12.3. Ряды Тейлора и Маклорена 258
12.4. Приближенные формулы 262
12.5. Упражнения 264
13. Векторная алгебра 266
13.1. Векторы 266
13.2. Матрицы 271
13.3. Определители 274
13.4. Системы линейных уравнений 277
13.5. Комплексный случай 299
13.6. Упражнения 300
14. Дифференциальные уравнения 302
14.1. Основные понятия 302
14.2. Разделение переменных 307
14.3. Уравнения вида у' = f(y/x) 310
14.4. Линейные уравнения первого порядка 312
14.5. Линейные уравнения второго порядка 316
14.6. Упражнения 327
15. Математические модели 329
15.1. Динамические системы 331
15.2. Модель Мальтуса 341
15.3. Модель взрыва 343
15.4. Модели маятников 345
15.5. Модель «хищник-жертва» 348
15.6. Модель Лоренца 352
15.7. Упражнения 354
16. Теория вероятностей 356
16.1. События 356
16.2. Вероятность реализации события 359
16.3. Вероятность суммы событий 365
16.4. Вероятность произведения событий 368
16.5. Дискретная случайная величина 370
16.6. Непрерывная случайная величина 376
16.7. Упражнения 382
17. Аналитическая геометрия 385
17.1. Прямая линия на плоскости 385
17.2. Кривые второго порядка 389
17.3. Эллипс 391
17.4. Гипербола 393
17.5. Парабола 396
17.6. Упражнения 398
18. Численные методы 401
18.1. Оценка точности вычислений 402
18.2. Аппроксимация функций 406
18.3. Численное дифференцирование 409
18.4. Численное интегрирование 412
18.5. Отыскание корней уравнений 415
18.6. Решение задач Коши 422
18.7. Решение краевых задач 424
18.8. Подбор эмпирических формул 426
18.9. Упражнения 430
19. Справочник 432
19.1. Латинский и греческий алфавиты 432
19.2. Римские числа 433
19.3. Математические обозначения 434
19.4. Алгебраические формулы 435
19.5. Тригонометрические формулы 436
19.6. Геометрические формулы 440
19.7. Формулы анализа 455
19.8. Графики 460
20. Литература 466
21. Предметный указатель 468