Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.  Зайцев В.Ф., Полянин А.Д.

   Предисловие   ................................................................................................................................... 8

   Некоторые обозначения и замечания    .............................................................................. ............. 9

   Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения   ................................ 10

  0.1.   Уравнения первого порядка............................................................................................. ........ 10

0.1.1. Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности . .              10
0.1.2. Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы

интегрирования....................................................................................................... ......... 11

0.1.3. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.................. ........ 13

0.1.4. Уравнение Риккати   ................................................................................................ ........ 14

0.1.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной..................................... ........ 16

0.1.6. Приближенные аналитические методы решения уравнений   .............................. ........ 18

0.1.7. Численное интегрирование дифференциальных уравнений................................. ........ 19

  0.2.   Линейные уравнения второго порядка............................................................................ ....... 20

0.2.1. Формулы для общего решения. Некоторые преобразования   ........................... ....... 20

0.2.2. Представление решений в виде ряда по независимой переменной   ................... ....... 22

0.2.3. Асимптотические решения   .................................................................................... ........ 23

0.2.4. Краевые задачи  ....................................................................................................... ....... 26

0.2.5. Задачи на собственные значения.............................................................................. ........ 28

 0.3.   Нелинейные уравнения второго порядка........................................................................ ........ 31

0.3.1. Вид общего решения. Задача Коши........................................................................ ........ 31

0.3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка...................................................... ........ 31

0.3.3. Методы регулярных разложений по независимой переменной и малому

параметру   .............................................................................................................. ........ 33

0.3.4. Методы возмущений, используемые в механике и физике   ................................ ........ 35

0.3.5. Метод Галеркина и его модификации (проекционные методы)........................... ........ 41

0.3.6. Метод последовательных приближений и численные методы.............................. ........ 43

 0.4.   Линейные уравнения произвольного порядка   ............................................................. ....... 44

0.4.1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами......................................... ....... 44

0.4.2. Линейные уравнения с переменными коэффициентами........................................ ........ 45

0.4.3. Асимптотические решения линейных уравнений   ................................................ ....... 47

 0.5.   Нелинейные уравнения произвольного порядка   ......................................................... ....... 48

5.1.1. Вид общего решения. Задача Коши........................................................................ ....... 48

0.5.2. Уравнения, допускающие понижение порядка...................................................... ....... 48

1. Уравнения первого порядка............................................................................................... ........ 50

1.1.    Простейшие уравнения, содержащие произвольные функции, интегрируемые в
замкнутой форме................................................................................................................ ........ 50

1.1.1.   Уравнения вида у'_х = f(x)   ...................................................................................... ........ 50

1.1.2.   Уравнения вида у'_х = f(y)......................................................................................... ........ 50

1.1.3.   Уравнение с разделяющимися переменными у'_х = f(x)g(y)................................... ........ 50

1.1.4.   Линейное уравнение д(х)у_х = fi(x)y + fo(x)   ........................................................... ........ 50

1.1.5.   Уравнение Бернулли д(х)у_х = fi(x)y + f_n(x)yⁿ  ........................................................ ........ 50

1.1.6.   Однородное уравнение у'_х = f(y/x).......................................................................... ........ 50

1.2.    Уравнение Риккати д(х)у_х = /2(ж)?/² + fi(x)y + fo(x).......................................................... ........ 51

1.2.1.   Представление общего решения с помощью частного......................................... ........ 51

1.2.2.   Уравнения, содержащие степенные функции....................................................... ........ 51

1.2.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   ...................................... ........ 56

1.2.4.           Уравнения, содержащие гиперболические функции   ........................................         59

1.2.5.           Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................         60

1.2.6.           Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................         61

1.2.7.           Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции....................         64

1.2.8.           Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................         66

1.2.9.           Некоторые преобразования  ................................................................................         69

1.3.    Уравнения Абеля второго рода   ....................................................................................         70

1.3.1.           Уравнения вида уу'_х — у = f(x)   ............................................................................         70

1.3.2.           Уравнения вида уу'_х = f(x)y + 1   ...........................................................................         82

1.3.3.           Уравнения вида уу'_х = fi(x)y + f₀(x)   .....................................................................         83

1.3.4.           Уравнения вида [gi(х)у + д₀(х)]у_х = J2[x)y² + fi(x)y + /оО)   ...............................         93

1.3.5.           Некоторые уравнения первого и второго порядков, приводимые к уравнениям Абеля второго рода97

1.4.    Уравнения, содержащие полиномиальные функции у...................................................         98

1.4.1.           Уравнения Абеля первого рода у'_х = fs(x)y³ -\- f2(x)y² -\- fi(x)y-\- fo(x)   ....                 98

1.4.2.           Уравнения вида (А₂2у²'+Ai₂xy+Ацх²'+А₀)у_х = В22У²+Bi2xy+Bnx²+B₀                       102

1.4.3.           Уравнения вида (А22У² + А\2ху + Ацх² + А2У + А\х)у'_х  =

= В₂2У² + Bi₂xy + Вцх² + В₂у + Bix  .......................................................................        104

1.4.4.    Уравнения вида (А22У² + А\2ху + Ацх² + А2У + А\х + Ао)у_х =

= В₂₂у² + В₁₂ху + Вцх² + B₂y + B_lX + B_Q.................................................................         Ill

1.4.5.    Уравнения вида (Азу³ + А2ху² + А\х²у + Аох³ + а\у + аох)у_х =

= В₃у³ + В₂ху² + Bix²y + Box³ -\-bxy-\-box   ............................................................        114

1.5.    Уравнения вида f(x,y)y'_x = д(х,у), содержащие произвольные параметры....................        118

1.5.1.           Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        118

1.5.2.           Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................        121

1.5.3.           Уравнения, содержащие гиперболические функции   ........................................        124

1.5.4.           Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................        126

1.5.5.           Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        127

1.5.6.           Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций128

1.6.    Уравнения вида /(ж, у,у'_х) = 0, содержащие произвольные параметры   .....................        130

1.6.1.           Уравнения второй степени относительно у'_х   .....................................................        130

1.6.2.           Уравнения третьей степени относительно у'_х.......................................................        135

1.6.3.           Уравнения вида (у'_х)   = f(y) + д(х)   .....................................................................        136

1.6.4.           Другие уравнения   ...............................................................................................        144

1.7.    Уравнения вида f(x,y)y'_x = д(х,у), содержащие произвольные функции   ....................        146

1.7.1.           Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        146

1.7.2.           Уравнения, содержащие экспоненциальные и гиперболические функции ...           147

1.7.3.           Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................        149

1.7.4.           Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        150

1.7.5.           Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций151

1.8.    Уравнения вида f(x,y,y'_x) = 0, содержащие произвольные функции.............................        152

1.8.1.           Отдельные уравнения   .........................................................................................        152

1.8.2.           Некоторые преобразования  ................................................................................        154

2. Уравнения второго порядка..............................................................................................        156

2.1.   Линейные уравнения второго порядка...........................................................................        156

2.1.1.   Представление общего решения с помощью частного........................................        156

2.1.2.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        156

2.1.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................        184

2.1.4.   Уравнения, содержащие гиперболические функции   ........................................        189

2.1.5.   Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................        193

2.1.6.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        195

2.1.7.   Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции....................       206

2.1.8.   Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических, тригонометрических и других функций211

2.1.9.  Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................      218

2.1.10.  Некоторые преобразования   ..............................................................................      224

2.2.   Автономные уравнения у_хх = F(y, y'_x)..............................................................................      226

2.2.1.   Уравнения вида у_хх - у'_х = f(y)................................................................................      227

2.2.2.   Уравнения вида у_хх + f{y)y'_x + у = 0   ....................................................................      230

2.2.3.   Уравнения Льенарда у_хх + f(y)y'_x + д(у) = 0   .......................................................      232

2.2.4.   Уравнения Рэлея у%_х + f(y'_x) + д(у) = 0   .............................................................      234

2.3.   Уравнение Эмдена — Фаулера у_хх = Ах^пу^ш   ...................................................................      236

2.3.1.   Точные решения   ..................................................................................................      236

2.3.2.   Первые интегралы (законы сохранения)   ...........................................................      241

2.3.3.   Некоторые формулы и преобразования..............................................................      243

2.4.   Уравнения вида у_хх = Ахх^у^ + А₂х^П2у^т2    .......................................................................      243

2.4.1.   Классификационная таблица..................................................................................      243

2.4.2.   Точные решения   ..................................................................................................      246

2.5.   Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у_хх = Ах^пу^т(у_х)    ......................................      263

2.5.1.   Классификационная таблица..................................................................................      263

2.5.2.   Точные решения   ..................................................................................................      266

2.5.3.   Некоторые формулы и преобразования..............................................................      279

2.6.   Уравнения вида у_хх = A_lXⁿⁱy^mi (y_x)^h + А₂х^П2у^Ш2(у_х)¹²   ......................................................      281

2.6.1.   Модифицированное уравнение Эмдена — Фаулера ?/"_ж = Aix~¹y'_x+A₂xⁿy^rn           281

2.6.2.   Уравнения вида у1_х = (A_lXⁿⁱy^mi + А₂х^П2у^Ш2)(у'_х)¹   ................................................      290

2.6.3.   Уравнения вида у'^ = аАх^пу^ш(у'_х)¹ + Ах^п-¹у^т+\у'_х)¹-¹............................................      314

2.6.4.   Другие уравнения (h Ф h)  ...................................................................................      327

2.7.   Уравнения вида у_хх = f(x)g(y)h(y_x)....................................................................................      331

2.7.1.   Уравнения вида у_хх = f(x)g(y)   ..............................................................................      331

2.7.2.   Уравнения, содержащие степенные функции (h ф const)...................................      333

2.7.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции (h ф const)   ..................      337

2.7.4.   Уравнения, содержащие гиперболические функции (h ф const).......................      340

2.7.5.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции (h ф const).................      341

2.7.6.   Некоторые преобразования  ................................................................................      341

2.8.   Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры   ...............................      342

2.8.1.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................      342

2.8.2.   Уравнения Пенлеве................................................................................................      347

2.8.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................      352

2.8.4.   Уравнения, содержащие гиперболические функции   ........................................      357

2.8.5.   Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................      359

2.8.6.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................      361

2.8.7.   Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических

и тригонометрических функций   .........................................................................      364

2.9.   Уравнения, содержащие произвольные функции..........................................................      366

2.9.1.   Уравнения вида F(x, у)у'х_Х + G(x, у) = 0...............................................................      366

2.9.2.   Уравнения вида F(x, у)у'х_Х + G(x, у)у'_х + Н(х, у) = 0   .........................................      371

2.9.3.  Уравнения вида F(x,y)y^_x +  £ Ст(х,у)(у'_х)^ш = 0 (М = 2,3,4)   ............................      374

2.9.4.   Уравнения вида F(x, у, у'_х)у_хх + G(x, у, у'_х) = 0   .................................................      376

2.9.5.   Уравнения вида F(x, у, у'_х, у_хх) = 0   .....................................................................      382

2.9.6.   Уравнения общего вида, допускающие понижение порядка   ..........................      383

2.9.7.   Некоторые преобразования  ................................................................................      385

3. Уравнения третьего порядка   .........................................................................................      388

3.1.   Линейные уравнения.........................................................................................................      388

3.1.1.   Предварительные замечания.................................................................................      388

3.1.2.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................      388

3.1.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................      403

3.1.4.   Уравнения, содержащие гиперболические функции   .......................................      407

3.1.5.   Уравнения, содержащие логарифмические функции.........................................      414

3.1.6.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................       417

3.1.7.   Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции....................       427

3.1.8.   Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических, тригонометрических и других функций431

3.1.9.   Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................       437

3.2.   Уравнения вида у'"_хх = Ах^а/(у'_хУ (у_хх)⁶.............................................................................       445

3.2.1.   Классификационная таблица..................................................................................       445

3.2.2.   Уравнения вида у_ххх = Ау^   ..................................................................................        451

3.2.3.   Уравнения вида у_ххх = Ax^ay^f3..................................................................................       452

3.2.4.   Уравнения при \^\ + \8\ ф 0   ................................................................................        453

3.2.5.   Некоторые преобразования  ................................................................................       475

3.3.   Уравнения вида у'"_хх = f(y)g(y'_x)h(y_xx)   ..........................................................................       476

3.3.1.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................       476

3.3.2.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................       478

3.3.3.   Другие уравнения   ...............................................................................................        481

3.4.   Нелинейные уравнения с произвольными параметрами   .............................................        483

3.4.1.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        483

3.4.2.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................       487

3.4.3.   Уравнения, содержащие гиперболические функции   .......................................       489

3.4.4.   Уравнения, содержащие логарифмические функции.........................................        491

3.4.5.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции....................................        493

3.5.   Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции.....................................       495

3.5.1.   Уравнения вида F(x, у)у_ххх + G(x, у) = 0...............................................................       495

3.5.2.   Уравнения вида F(x, у, у_х)у_ххх + G(x, y,y'_x) = 0   ..................................................       496

3.5.3.   Уравнения вида F(x, у, у'_х)у_ххх + G(x, у, у'_х)у_хх + Н(х, У,у'_х) = 0.........................        ⁵⁰°

3.5.4.   Уравнения вида F{x,y,y'_x)y'"_xx + Ys^Gct{x,y,y'_x){y_xx)^a = О......................................        503

3.5.5.  Уравнения вида F(x, у, у'_х,у_хх)у_х'_хх + G(x, у, у'_х, у_хх) = 0   ....................................        505

4.  Уравнения четвертого порядка   ....................................................................................       507

4.1.   Линейные уравнения.........................................................................................................        507

4.1.1.   Предварительные замечания.................................................................................        507

4.1.2.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        507

4.1.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные, гиперболические и логарифмические функции 513

4.1.4.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        515

4.1.5.   Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................        516

4.2.   Нелинейные уравнения  ...................................................................................................        519

4.2.1.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        519

4.2.2.   Уравнения, содержащие экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции 521

4.2.3.   Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................        522

5.  Уравнения более высоких порядков   ............................................................................       527

5.1.    Линейные уравнения.........................................................................................................        527

5.1.1.   Предварительные замечания.................................................................................        527

5.1.2.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        527

5.1.3.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................        532

5.1.4.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        533

5.1.5.   Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................        534

5.2.    Нелинейные уравнения  ...................................................................................................        537

5.2.1.   Уравнения, содержащие степенные функции......................................................        537

5.2.2.   Уравнения, содержащие экспоненциальные функции   .....................................        541

5.2.3.   Уравнения, содержащие гиперболические функции   ........................................        541

5.2.4.   Уравнения, содержащие логарифмические функции..........................................        543

5.2.5.   Уравнения, содержащие тригонометрические функции.....................................        544

5.2.6.   Уравнения, содержащие произвольные функции...............................................        545