Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.Зайцев В.Ф., Полянин А.Д.

Оглавление
Предисловие 12 Некоторые обозначения и замечания 13 1. Уравнения, содержащие одну частную производную 14 2. Линейные уравнения вида f(x, у)-^- + g(х, у)-^- = 0 2.1. Предварительные замечания 15 2.1.1. Метод решения 15 2.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными) 15 2.1.3. Конкретные примеры 16 2.2. Уравнения, содержащие степенные функции 17 2.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у 17 2.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 18 2.2.3. Коэффициенты уравнений содержат целые степени х и у 21 2.2.4. Коэффициенты уравнений содержат дробные степени х и у 22 2.2.5. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 23 2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 31 2.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 31 2.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 32 2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 36 2.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 36 2.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 37 2.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 37 2.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 38 2.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 39 2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 39 2.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 39 2.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 40 2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 42 2.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 42 2.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 43 2.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 45 2.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 46 2.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 47 2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 48 2.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 48 2.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 50 2.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 51 2.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 52 2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции х 53 2.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и степенные функции ... 53 2.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и экспоненциальные функции 55 2.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и гиперболические функции 56 2.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и логарифмические функции 57 2.8.5. Коэффициенты уравнений содержат произвольные и тригонометрические функции 57 2.8.6. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции и их производные 58 2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции разных аргументов 59 2.9.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у 59 2.9.2. Коэффициенты уравнений содержат одну произвольную функцию сложного аргумента 60 2.9.3. Коэффициенты уравнений содержат несколько произвольных функций 62 3. Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + g(х,у)-^- = h(x,y) 3.1. Предварительные замечания 65 3.1.1. Методы решения 65 3.1.2. Задача Коши 66 3.1.3. Конкретные примеры 66 3.2. Уравнения, содержащие степенные функции 67 3.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у 67 3.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 68 3.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции 69 3.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 70 3.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 71 3.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 71 3.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 72 3.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 73 3.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 73 3.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 73 3.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 74 3.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 74 3.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 75 3.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 75 3.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 75 3.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 76 3.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 77 3.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 77 3.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 77 3.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 78 3.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 78 3.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 79 3.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 79 3.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 79 3.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 80 3.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 80 3.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 81 3.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 82 3.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 82 3.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у 83 3.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных аргументов 84 3.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 85 4. Линейные уравнения вида f(x,y)-^- + д(х,у)-^- = h(x,y)w 4.1. Предварительные замечания 87 4.1.1. Методы решения 87 4.1.2. Конкретные примеры 88 4.2. Уравнения, содержащие степенные функции 89 4.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у 89 4.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 90 4.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степенные функции 91 4.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 91 4.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 93 4.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 93 4.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 94 4.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 94 4.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 94 4.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 95 4.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 95 4.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 96 4.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 96 4.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 97 4.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 97 4.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 97 4.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 98 4.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 98 4.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 98 4.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 99 4.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 99 4.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 100 4.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 101 4.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 101 4.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 101 4.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 102 4.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 102 4.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 103 4.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 103 4.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у 105 4.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных аргументов 105 4.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 106 5. Линейные уравнения вида f(x, у) -§^ + g(x, у) -§^- = hi (ж, y)w + h0(x, у) 5.1. Предварительные замечания 108 5.1.1. Методы решения 108 5.1.2. Конкретные примеры 109 5.2. Уравнения, содержащие степенные функции ПО 5.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х и у ПО 5.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х и у 111 5.2.3. Коэффициенты уравнений содержат квадратные корни х и у 112 5.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у 113 5.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 115 5.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 115 5.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 115 5.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 116 5.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 116 5.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 117 5.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 117 5.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 118 5.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 118 5.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 119 5.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 119 5.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 119 5.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 120 5.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 120 5.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 121 5.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 121 5.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 122 5.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 123 5.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 123 5.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 123 5.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 124 5.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 124 5.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 125 5.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 125 5.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 125 5.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у 127 5.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 128 6. Линейные уравнения вида f(x,y,z)-^- + g(x,y,z)-^- + h(x,y,z)-^- = О 6.1. Предварительные замечания 129 6.1.1. Методы решения 129 6.1.2. Задача Коши (задача с начальными данными) 130 6.1.3. Конкретные примеры 130 6.2. Уравнения, содержащие степенные функции 131 6.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z 131 6.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у, z 134 6.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z 137 6.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z 138 6.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 140 6.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 140 6.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 141 6.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 143 6.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 143 6.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 144 6.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 144 6.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 145 6.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 145 6.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 146 6.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 146 6.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 146 6.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 147 6.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 147 6.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 147 6.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 148 6.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 148 6.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 149 6.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 149 6.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 149 6.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 150 6.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 150 6.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 151 6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 151 6.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 151 6.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 152 6.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 153 7. Линейные уравнения вида f1^f- + f2-§^- + fз-§^- = g, fi = fi(x, y,z) 7.1. Предварительные замечания 156 7.1.1. Методы решения 156 7.1.2. Конкретные примеры 157 7.2. Уравнения, содержащие степенные функции 158 7.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z 158 7.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у, z 159 7.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z 160 7.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z 161 7.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 162 7.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 162 7.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 163 7.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 164 7.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 164 7.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 165 7.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 165 7.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 166 7.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 167 7.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 167 7.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 167 7.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 168 7.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 168 7.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 168 7.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 169 7.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 170 7.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 170 7.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 171 7.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 172 7.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 172 7.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 172 7.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 173 7.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 173 7.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 173 7.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 173 7.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 175 7.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 176 8. Линейные уравнения вида f1i -f^- + f2-f^- + fз-f^- = gw, fi = fi(x, у, z) 8.1. Предварительные замечания 178 8.1.1. Методы решения 178 8.1.2. Конкретные примеры 179 8.2. Уравнения, содержащие степенные функции 179 8.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z 179 8.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по х, у, z 180 8.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z 182 8.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z 182 8.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 184 8.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 184 8.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 185 8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 186 8.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 186 8.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 186 8.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 187 8.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 188 8.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 188 8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 189 8.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 189 8.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 189 8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 190 8.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 190 8.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 190 8.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 191 8.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 192 8.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 192 8.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 193 8.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 193 8.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 193 8.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 194 8.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 194 8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 195 8.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 195 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 197 8.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 198 9. Линейные уравнения вида f -§f- + f2 -§^- + /з -fj- =giw + g0, fi = fi(x,y,z) 9.1. Предварительные замечания 200 9.1.1. Методы решения 200 9.1.2. Конкретные примеры 201 9.2. Уравнения, содержащие степенные функции 201 9.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, z 201 9.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по ж, у, z 202 9.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени х, у, z 203 9.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х, у, z 203 9.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 206 9.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 206 9.3.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные и степенные функции 206 9.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 207 9.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 207 9.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 208 9.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс 208 9.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс 209 9.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции . . 210 9.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 210 9.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 210 9.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 211 9.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 211 9.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 211 9.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус 212 9.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс 213 9.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 213 9.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 214 9.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 214 9.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус 214 9.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 215 9.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс 215 9.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 216 9.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 216 9.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х 216 9.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 217 9.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 218 10. Линейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными 10.1. Методы решения 221 10.1.1. Линейные однородные уравнения 221 10.1.2. Линейные неоднородные уравнения 221 10.1.3. Задача Коши 222 10.2. Конкретные уравнения 222 10.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции 222 10.2.2. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 225 10.2.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 227 11. Квазилинейные уравнения вида /(ж, 2/)-§^г + #(ж, у)^~ — h(x, y,w) 11.1. Предварительные замечания 229 11.1.1. Методы решения 229 11.1.2. Конкретные примеры 230 11.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры 231 11.2.1. Коэффициенты уравнений содержат степенные функции 231 11.2.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 232 11.2.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции 234 11.2.4. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 234 11.2.5. Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические функции 235 11.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 235 11.3.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции одной переменной 235 11.3.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 237 12. Квазилинейные уравнения вида /(ж, т/, w) -|^- + д(х, у, w) -^- = h(x, у, w) 12.1. Предварительные замечания 239 12.1.1. Методы решения 239 12.1.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности 240 12.1.3. Качественные особенности и разрывные решения квазилинейных уравнений 242 12.1.4. Обобщенные решения квазилинейных уравнений 251 12.2. Уравнения, содержащие степенные функции 254 12.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по w 254 12.2.2. Коэффициенты уравнений квадратичны по w 257 12.2.3. Коэффициенты уравнений содержат другие степени w 259 12.3. Другие уравнения, содержащие произвольные параметры 261 12.3.1. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциальные функции 261 12.3.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции 262 12.3.3. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 265 12.3.4. Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические функции 266 12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 268 12.4.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции независимых переменных 268 12.4.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции зависимой переменной 271 12.4.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 275 13. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными квадратичные по производным 13.1. Предварительные замечания 277 13.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры 277 13.2.1. Уравнения вида ^^ = f(x,y,w) 277 13.2.2. YpaBHe^RBnmf(x,y,w)^-^-+g(x,y,w)^-=h(x,y,w) 279 13.2.3. Уравнения вида f (х,у,w) *JL *£- + g(x,y,w)*iL + h(x^w)*«L = s(x,y,w) 280 13.2.4. Уравнения вида ^ + f(x, у, W)(^L)2 = g{x,y,w) 283 13.2.5. Уравнения вида ^ + f(x, y, w)(j%-)2 + g{x, y, W)^L = h(x,y,w) 289 13.2.6. Уравнения вида f(x,y,w)(j^)2+g(x,y,w)(j^)2 =h(x,y,w) 292 13.2.7. Уравнения вида f(x,y)(j%-)2+g(x,y)j^j%- =h(x,y,w) 296 13.2.8. Другие уравнения 299 13.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 302 13.3.1. Уравнения вида %%.%$- = f(x,y,w) 302 13.3.2. Уравнения вида f(x, у)^^ + д(х, у)^ =h(x,y,w) 304 13.3.3. Уравнения вида /(ж, у)-^- + д(х, у, w)(-^-)2 = h(x,y,w) 305 13.3.4. Уравнения вида ^ + f(x, у, w)(j^)2 + g(x, у, w)j%- = h(x,y,w) 309 13.3.5. Уравнения вида f(x, у, w){^-)2 + g(x, у, w)(-^-)2 = h(x,y,w) 311 13.3.6. Уравнения вида (^)2 + /(ж, у, w)^-^- = д{х, у, w) 314 13.3.7. Другие уравнения 316 14. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида 14.1. Предварительные замечания 318 14.1.1. Методы решения 318 14.1.2. Задача Коши. Теорема существования и единственности 322 14.1.3. Обобщенные вязкие решения и их приложения 324 14.2. Уравнения, содержащие кубические нелинейности относительно производных . . . 329 14.2.1. Уравнения вида ^(|^)2 = f(x,y,w) 329 14.2.2. Уравнения вида /(ж, у, w)(-^)s + g(x, у, w)-^- = h(x,y,w) 330 14.2.3. Уравнения вида f(x,y,w)(j^)3+g(x,y,w)(j^)2 = h(x,y,w) 331 14.2.4. Уравнения вида f(x, у, ^)(^)3+^(ж, ylW)jjjL**- = h(x,y,w) 332 14.2.5. Другие уравнения 333 14.3. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 334 14.3.1. Уравнения содержат четвертые степени по производным 334 14.3.2. Уравнения, содержащие радикалы с производными 336 14.3.3. Уравнения содержат произвольные степени производных 336 14.3.4. Уравнения более сложного вида 339 14.4. Уравнения, содержащие произвольные функции независимых переменных 340 14.4.1. Уравнения содержат одну произвольную степень производной 340 14.4.2. Уравнения содержат две и три произвольные степени производных 343 14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных 345 14.5.1. Уравнения содержат произвольные функции одной переменной 345 14.5.2. Уравнения содержат произвольные функции двух переменных 347 14.5.3. Уравнения содержат произвольные функции трех переменных 350 14.5.4. Уравнения содержат произвольные функции четырех переменных 352 15. Нелинейные уравнения с тремя и более независимыми переменными 15.1. Предварительные замечания 354 15.1.1. Квазилинейные уравнения 354 15.1.2. Нелинейные уравнения 356 15.1.3. Обобщенные вязкие решения 362 15.2. Квазилинейные уравнения 364 15.2.1. Уравнения с тремя переменными 364 15.2.2. Уравнения с произвольным числом переменных 367 15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 369 15.3.1. Уравнения содержат квадраты одной или двух производных 369 15.3.2. Уравнения содержат квадраты трех производных 373 15.3.3. Уравнения содержат произведения производных по разным переменным . . 374 15.3.4. Уравнения, содержащие квадраты и произведения производных 376 15.4. Другие нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие параметры . . . 376 15.4.1. Уравнения третьей степени относительно производных 376 15.4.2. Уравнения, содержащие корни или модули производных 377 15.4.3. Уравнения, содержащие произвольные степени производных 378 15.5. Нелинейные уравнения с тремя переменными, содержащие произвольные функции 380 15.5.1. Уравнения квадратичные по производным 380 15.5.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным 385 15.5.3. Уравнения с произвольной зависимостью от производных 387 15.5.4. Нелинейные уравнения общего вида 388 15.6. Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными 391 15.6.1. Уравнения квадратичные по производным 391 15.6.2. Уравнения содержат степенные функции по производным 393 15.7. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольные параметры 394 15.7.1. Уравнения квадратичные по производным 394 15.7.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным 396 15.8. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольные функции 397 15.8.1. Уравнения квадратичные по производным 397 15.8.2. Уравнения со степенной нелинейностью по производным 401 15.8.3. Уравнения содержат произвольные функции двух аргументов 402 15.8.4. Нелинейные уравнения общего вида 403 Дополнение. Метод обобщенного разделения переменных Д.1. Предварительные замечания 407 Д.2. Решения с обобщенным разделением переменных. Рассматриваемые классы уравнений 407 Д.З. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования 408 Д.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления . . . 409 Д. 5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным разделением переменных . 412 Список литературы 414
|