Справочник по высшей математике. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А.1

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3 I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 4 Глава 1. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве 4 1.1. Координаты на прямой 4 1.2. Координаты на плоскости 5 . 1.3. Расстояние между двумя точками 7 1.4. Деление отрезка в данном отношении 7 1.5. Центр тяжести системы масс 9 1.6. Площадь треугольника 9 1.7. Уравнение линии в декартовых координатах 10 1.8. Пересечение линий 11 1.9. Уравнение линии в полярных координатах 12 1.10. Параметрические уравнения линии 13 1.11. Преобразования декартовых 14 1.12. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве IS 1.13. Расстояние между двумя точками в пространстве 16 1.14. Цилиндрические и сферические координаты 17 Глава 2. Линии на плоскости 19 2.1. Прямая на плоскости 19 2.2. Окружность 25 2.3. Эллипс 25 2.4. Гипербола 27 2.5. Парабола 28 2.6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы 29 2.7. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка 31 2.8. Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат 33 2.9. Упрощение общего уравнения второй степени 35 2.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков 39 2.11. Некоторые трансцендентные линии 49 Глава 3. Векторы 3.1. Основные понятия 55 3.2. Линейные операции нал векторами 56 3.3. Проекция вектора на ось 58 3.4. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора 59 3.5. Переход от векторных соотношений к координатным 61 3.6. Скалярное произведение двух векторов 62 3.7. Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат 64 3.8. Векторное произведение двух векторов 65 3.9. Смешанное произведение трех векторов 67 3.10. Линейная зависимость векторов 69 3.11. Аффинные координаты 70 Глава 4. Поверхности и линии в пространстве 72 4.1. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве 72 4.2. Параметрические уравнения линии и поверхности 73 4.3. Различные виды уравнения плоскости 75 4.4. Различные виды уравнений прямой в пространстве 80 4.5. Задачи, относящиеся к плоскостям 81 4.6. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве 83 4.7. Задачи на прямую и плоскость 85 4.8. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения 89 4.9. Поверхности второго порядка 91 4.10. Некоторые другие поверхности 96
II АЛГЕБРА 99 Глава 5. Матрицы и определители 99 5.1. Матрицы. Основные определения 99 5.2. Линейные действия над матрицами 102 5.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц 103 5.4. Определители и их свойства 105 5.5. Обратная матрица 109 5.6. Ранг матрицы 114 Глава 6. Системы линейных уравнений 6.1. Линейные системы. Основные определения 116 6.2. Матричная запись линейной системы 117 6.3. Невырожденные линейные системы 119 6.4. Произвольные линейные системы 121 6.5. Метод Гаусса 122 Глава 7. Комплексные числа 127 7.1. Упорядоченные пары действительных' чисел и операции над ними 127 7.2. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа 128 7.3. Геометрическое изображение комплексных чисел 129 7.4. Действия над комплексными числами 130 7.5. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа 132 7.6. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме 134 Глава 8. Алгебраические уравнения 137 8.1. Алгебраические многочлены 137 8.2. Корни многочлена. Теорема Безу 139 8.3. Квадратные уравнения 142 8.4. Кубические уравнения 143 8.5. Уравнения четвертой степени 145 8.6. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена 146 8.7. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей 147 Глава 9. Линейные пространства 150 9.1. Линейное пространство. Подпространство 150 9.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства 152 9.3. Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств 153 9.4. Координаты вектора линейного пространства 154 9.5. Ранг системы векторов линейного пространства 155 9.6. Преобразование координат вектора при изменении базиса 156 9.7. Евклидово пространство 157 9.8. Унитарное пространство 161 Глава 10. Линейные преобразования (линейные операторы) 162 10.1. Линейное преобразование и его матрица 162 10.2. Линейное преобразование в координатах 164 10.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы 165 10.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования 165 10.5. Собственные векторы линейного преобразования 167 10.6. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду 169 10.7. Действия над линейными преобразованиями 170 10.8. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному 171 10.9. Ортогональные матрицы 172 10.10. Ортогональные преобразования 173 Глава 11. Квадратичные формы 174 11.1. Квадратичная форма и ее матрица 174 11.2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных 175 11.3. Приведение действительной квадратичной формы к ~~ нормальному виду 176 11.4. Закон инерции квадратичных форм 177 11.5. Знакоопределенные квадратичные формы 177 11.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных 178 11.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости 180 11.8. Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве 183 Глава 12. Группы 187 12.1. Понятие группы. Основные определения 187 12.2. Примеры групп 188 12.3. Подгруппа 189 12.4. Группы преобразований. Симметрическая группа и-й степени 190 12.5. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрии правильного треугольника 193 12.6. Изоморфизм групп 194 12.7. Разложение группы по подгруппе 195 12.8. Нормальный делитель 196 12.9. Классы сопряженных элементов 196 12.10. Фактор-группа 197 12.11. Гомоморфизм групп 198 12.12. Представления групп 199
III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 200 Глава 13. Функции и пределы 200 13.1. Понятие функции. Основные определения 200 13.2. Предел последовательности 202 13.3. Предел функции 205 13.4. Бесконечно малые функции и их свойства 207 13.5. Сравнение бесконечно малых функций 208 13.6. Бесконечно большие функции 210 13.7. Основные теоремы о пределах функций 211 13.8. Некоторые важные пределы 211 13.9. Непрерывность функции 214 13.10. Точки разрыва функции 216 13.11. Показательная функция. Гиперболические функции 218 Глава 14. Производные и дифференциалы 220 14.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл 220 14.2. Основные правила дифференцирования 223 14.3. Основные формулы дифференцирования 224 14.4. Дифференциал функции 228 14.5. Основные теоремы дифференциального исчисления 232 14.6. Формула Тейлора 233 14.7. Формула Тейлора для некоторых функций 234 14.8. Приближенные формулы 235 Глава 15. Приложения производной 237 15.1. Правило Лопиталя-Бернулли 237 15.2. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции 240 15.3. Экстремум функции 241 15.4. Направления выпуклости, точки перегиба 244 15.5. Асимптоты 245 15.6. Исследование функций и построение их графиков 246 15.7. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 248 15.8. Дифференциал длины дуги кривой 249 15.9. Кривизна плоской кривой 250 15.10. Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента 252 15.11. Переменная векторная величина. Вектор-функция скалярного аргумента 252 15.12. Дифференцирование вектор-функций 254 15.13. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии 256 Глава 16. Неопределенный интеграл 259 16.1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов 259 16.2. Непосредственное интегрирование 262 16.3. Метод подстановки 263 16.4. Метод интегрирования по частям 265 16.5. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе 269 16.6. Интегрирование рациональных функций 270 16.7. Интегрирование простейших иррациональных функций 272 16.8. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений 275 Глава 17. Определенный интеграл 278 17.1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства 278 17.2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница 281 17.3. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям 283 17.4. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем 285 17.5. Несобственные интегралы 286 17.6. Интегралы Эйлера 290 17.7. Площадь криволинейной фигуры 292 17.8. Длина дуги кривой 296 17.9. Объем тела. Площадь поверхности вращения 298 Глава 18. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 301 18.1. Множества в и-мерном пространстве 301 18.2. Понятие функций нескольких переменных 303 18.3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 304 18.4. Частные производные функции нескольких переменных 305 18.5. Полный дифференциал функции нескольких переменных 307 18.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора 310 18.7. Дифференцирование неявных и сложных функций 313 18.8. Экстремум функции нескольких переменных 314 18.9. Условный экстремум 316 18.10. Касательная плбскость и нормаль к поверхности 317 18.11. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие 318 Глава 19. Двойной интеграл 320 19.1. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл 320 19.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах 322 19.3. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах 326 19.4. Вычисление площадей плоских областей 330 19.5. Вычисление объемов тел 332 19.6. Вычисление площадей поверхностей 336 19.7. Приложения двойных интегралов в механике 340 19.8. Несобственные двойные интегралы 344 Глава 20. Тройной интеграл 349 20.1. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла 349 20.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах 350 20.3. Замена переменных в тройном интеграле 353 20.4. Приложения тройных интегралов 357 Глава 21. Криволинейные интегралы 363 21.1. Криволинейные интегралы первого рода 363 21.2. Криволинейные интегралы второго рода 367 21.3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 371 21.4. Приложения криволинейных интегралов 373 Глава 22. Интегралы по поверхности 377 22.1. Поверхностные интегралы первого рода 377 22.2. Поверхностные интегралы второго рода 380 22.3. Формула Стокса. Формула Остроградского 384 22.4. Приложения интегралов по поверхности 386 Глава 23. Числовые ряды 23.1. Основные понятия. Необходимый признак сходимости 389 23.2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши 394 23.3. Признак Д'Аламбера. Признак Коши. Другие признаки 397 23.4. Знакопеременные ряды 400 23.5. Действия над рядами 404 23.6. Некоторые числовые ряды и их суммы 405 Глава 24. Функциональные ряды 408 24.1. Сходимость функциональных рядов 408 24.2. Равномерная сходимость функциональных рядов 410 24.3. Степенные ряды. Действия над степенными рядами 412 24.4. Ряд Тейлора. РядМаклорена417 24.5. Применения рядов в приближенных вычислениях 421 24.6. Ряды Фурье 422 24.7. Степенные ряды с комплексной переменной 427
IV ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 431 Глава 25. Дифференциальные уравнения первого порядка 432 25.1. Уравнение с разделяющимися переменными 432 25.2. Однородные уравнения 433 25.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли 434 25.4. Уравнения в полных дифференциалах 436 25.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 437 Глава 26: Дифференциальные уравнения второго порядка 439 26.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка 439 26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 442 26.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 443 Глава 27. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений 446 27.1. Основные понятия 446 27.2. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков 447 27.3. Линейные однородные уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами 449 27.4. Линейные неоднородные уравнения и-гр порядка с постоянными коэффициентами 451 27.5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 453 27.6. Нормальные системы дифференциальных уравнений 454 27.7. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 457 Глава 28. Дифференциальные уравнения с частными производными 460 28.1. Основные определения 460 28.2. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 461 28.3. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка 463 28.4. Основные дифференциальные уравнения математической физики 467 Глава 29. Элементы векторного и тензорного анализа 471 29.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля 471 29.2. Градиент скалярного поля. Производная по направлению 472 29.3. Векторное поле. Векторные линии 475 29.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема Остроградского 476 29.5. Циркуляция векторного поля 478 29.,6. Ротор векторного поля. Теорема Стокса 478 29.7> Потенциальное поле 480 29.8. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа 481 29.9. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора 483 29.10. Действия над тензорами 486 29.11. Тензоры в евклидовом пространстве 488 29.12. Тензорное поле 489
V ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 491 Глава 30. Приближенное решение уравнений 491 30.1. Отделение корней уравнения 491 30.2. Метод хорд 492 30.3. Метод касательных 494 30.4. Метод итераций 495 30.5. Метод Чебышева 496 Глава 31. Интерполирование функций 497 31.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа 497 31.2. Разности различных порядков. Разделенные разности 499 31.3. Интерполяционный многочлен Ньютона 501 Глава 32. Приближенное вычисление определенных интегралов 505 32.1. Формулы прямоугольников 505 32.2. Формула трапеций 506 32.3. Формула парабол 507 32.4. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов 509 Глава 33. Приближенное решение дифференциальных уравнений 511 33.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 511 33.2. Метод Эйлера 514 33.3. Метод Рунге - Кутта 515
VI ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 518 Глава 34. Случайные события и их вероятности 518 34.1. Классификация событий 518 34.2. Действия над событиями. Соотношения между событиями 518 34.3. Различные определения вероятности события 519 34.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий 522 34.5. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса 525 Глава 35. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики 326 35.1. Дискретные случайные величины 526 35.2. Функция распределения. Плотность распределения 527 35.3. Математическое ожидание случайной величины 529 35.4. Дисперсия случайной величины 530 35.5. Некоторые другие числовые характеристики 532 35.6. Некоторые законы распределения случайных величин 533 35.7. Основные теоремы теории вероятностей 536 Глава 36. Элементы математической статистики и математической обработки результатов измерений 538 36.1. Основные понятия математической статистики 538 36.2. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 542 36.3. Оценка точного значения измеряемой величины 543 36.4. Оценки точности измерений 544 36.5. Эмпирические формулы 545
VII ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 547 Глава 37. Элементы теории функций комплексной переменной 547 37.1. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность 547 37.2. Основные элементарные функции комплексной переменной 549 37.3. Дифференцирование функций комплексной переменной 553 37.4. Интегрирование функций комплексной переменной 556 37.5. Интегральная формула Коши 561 37.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана 563 37.7. Нули функции. Особые точки 569 37.8. Вычеты функций 573 Глава 38. Элементы операционного исчисления 578 38.1. Оригинал и изображение 578 38.2. Основные правила и формулы операционного исчисления 580 38.3. Основные теоремы операционного исчисления 585 38.4. Решение дифференциальных уравнений и их систем 589 Приложение. Некоторые оригиналы и их изображения 597 Некоторые математические знаки й даты их возникновения 599 Биографический словарь 601 Предметный указатель 615
|