Справочник по высшей математике.  Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А.1

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3
I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 4
Глава 1. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве 4
1.1. Координаты на прямой 4
1.2. Координаты на плоскости 5 .
1.3. Расстояние между двумя точками 7
1.4. Деление отрезка в данном отношении 7
1.5. Центр тяжести системы масс 9
1.6. Площадь треугольника 9
1.7. Уравнение линии в декартовых координатах 10
1.8. Пересечение линий 11
1.9. Уравнение линии в полярных координатах 12
1.10. Параметрические уравнения линии 13
1.11. Преобразования декартовых 14
1.12. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве IS
1.13. Расстояние между двумя точками в пространстве 16
1.14. Цилиндрические и сферические координаты 17
Глава 2. Линии на плоскости 19
2.1. Прямая на плоскости 19
2.2. Окружность 25
2.3. Эллипс 25
2.4. Гипербола 27
2.5. Парабола 28
2.6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы 29
2.7. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка 31
2.8. Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат 33
2.9. Упрощение общего уравнения второй степени 35
2.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков 39
2.11. Некоторые трансцендентные линии 49
Глава 3. Векторы
3.1. Основные понятия 55
3.2. Линейные операции нал векторами 56
3.3. Проекция вектора на ось 58
3.4. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора 59
3.5. Переход от векторных соотношений к координатным 61
3.6. Скалярное произведение двух векторов 62
3.7. Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат 64
3.8. Векторное произведение двух векторов 65
3.9. Смешанное произведение трех векторов 67
3.10. Линейная зависимость векторов 69
3.11. Аффинные координаты 70
Глава 4. Поверхности и линии в пространстве 72
4.1. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве 72
4.2. Параметрические уравнения линии и поверхности 73
4.3. Различные виды уравнения плоскости 75
4.4. Различные виды уравнений прямой в пространстве 80
4.5. Задачи, относящиеся к плоскостям 81
4.6. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве 83
4.7. Задачи на прямую и плоскость 85
4.8. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения 89
4.9. Поверхности второго порядка 91
4.10. Некоторые другие поверхности 96

II АЛГЕБРА 99
Глава 5. Матрицы и определители 99
5.1. Матрицы. Основные определения 99
5.2. Линейные действия над матрицами 102
5.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц 103
5.4. Определители и их свойства 105
5.5. Обратная матрица 109
5.6. Ранг матрицы 114
Глава 6. Системы линейных уравнений
6.1. Линейные системы. Основные определения 116
6.2. Матричная запись линейной системы 117
6.3. Невырожденные линейные системы 119
6.4. Произвольные линейные системы 121
6.5. Метод Гаусса 122
Глава 7. Комплексные числа 127
7.1. Упорядоченные пары действительных' чисел и операции над ними 127
7.2. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа 128
7.3. Геометрическое изображение комплексных чисел 129
7.4. Действия над комплексными числами 130
7.5. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа 132
7.6. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме 134
Глава 8. Алгебраические уравнения 137
8.1. Алгебраические многочлены 137
8.2. Корни многочлена. Теорема Безу 139
8.3. Квадратные уравнения 142
8.4. Кубические уравнения 143
8.5. Уравнения четвертой степени 145
8.6. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена 146
8.7. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей 147
Глава 9. Линейные пространства 150
9.1. Линейное пространство. Подпространство 150
9.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства 152
9.3. Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств 153
9.4. Координаты вектора линейного пространства 154
9.5. Ранг системы векторов линейного пространства 155
9.6. Преобразование координат вектора при изменении базиса 156
9.7. Евклидово пространство 157
9.8. Унитарное пространство 161
Глава 10. Линейные преобразования (линейные операторы) 162
10.1. Линейное преобразование и его матрица 162
10.2. Линейное преобразование в координатах 164
10.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы 165
10.4. Характеристическое уравнение линейного преобразования 165
10.5. Собственные векторы линейного преобразования 167
10.6. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду 169
10.7. Действия над линейными преобразованиями 170
10.8. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному 171
10.9. Ортогональные матрицы 172
10.10. Ортогональные преобразования 173
Глава 11. Квадратичные формы 174
11.1. Квадратичная форма и ее матрица 174
11.2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных 175
11.3. Приведение действительной квадратичной формы к ~~ нормальному виду 176
11.4. Закон инерции квадратичных форм 177
11.5. Знакоопределенные квадратичные формы 177
11.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных 178
11.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости 180
11.8. Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве 183
Глава 12. Группы 187
12.1. Понятие группы. Основные определения 187
12.2. Примеры групп 188
12.3. Подгруппа 189
12.4. Группы преобразований. Симметрическая группа и-й степени 190
12.5. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрии правильного треугольника 193
12.6. Изоморфизм групп 194
12.7. Разложение группы по подгруппе 195
12.8. Нормальный делитель 196
12.9. Классы сопряженных элементов 196
12.10. Фактор-группа 197
12.11. Гомоморфизм групп 198
12.12. Представления групп 199

III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 200
Глава 13. Функции и пределы 200
13.1. Понятие функции. Основные определения 200
13.2. Предел последовательности 202
13.3. Предел функции 205
13.4. Бесконечно малые функции и их свойства 207
13.5. Сравнение бесконечно малых функций 208
13.6. Бесконечно большие функции 210
13.7. Основные теоремы о пределах функций 211
13.8. Некоторые важные пределы 211
13.9. Непрерывность функции 214
13.10. Точки разрыва функции 216
13.11. Показательная функция. Гиперболические функции 218
Глава 14. Производные и дифференциалы 220
14.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл 220
14.2. Основные правила дифференцирования 223
14.3. Основные формулы дифференцирования 224
14.4. Дифференциал функции 228
14.5. Основные теоремы дифференциального исчисления 232
14.6. Формула Тейлора 233
14.7. Формула Тейлора для некоторых функций 234
14.8. Приближенные формулы 235
Глава 15. Приложения производной 237
15.1. Правило Лопиталя-Бернулли 237
15.2. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции 240
15.3. Экстремум функции 241
15.4. Направления выпуклости, точки перегиба 244
15.5. Асимптоты 245
15.6. Исследование функций и построение их графиков 246
15.7. Задачи на наибольшие и наименьшие значения 248
15.8. Дифференциал длины дуги кривой 249
15.9. Кривизна плоской кривой 250
15.10. Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента 252
15.11. Переменная векторная величина. Вектор-функция скалярного аргумента 252
15.12. Дифференцирование вектор-функций 254
15.13. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии 256
Глава 16. Неопределенный интеграл 259
16.1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов 259
16.2. Непосредственное интегрирование 262
16.3. Метод подстановки 263
16.4. Метод интегрирования по частям 265
16.5. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе 269
16.6. Интегрирование рациональных функций 270
16.7. Интегрирование простейших иррациональных функций 272
16.8. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений 275
Глава 17. Определенный интеграл 278
17.1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства 278
17.2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница 281
17.3. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям 283
17.4. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем 285
17.5. Несобственные интегралы 286
17.6. Интегралы Эйлера 290
17.7. Площадь криволинейной фигуры 292
17.8. Длина дуги кривой 296
17.9. Объем тела. Площадь поверхности вращения 298
Глава 18. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 301
18.1. Множества в и-мерном пространстве 301
18.2. Понятие функций нескольких переменных 303
18.3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 304
18.4. Частные производные функции нескольких переменных 305
18.5. Полный дифференциал функции нескольких переменных 307
18.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора 310
18.7. Дифференцирование неявных и сложных функций 313
18.8. Экстремум функции нескольких переменных 314
18.9. Условный экстремум 316
18.10. Касательная плбскость и нормаль к поверхности 317
18.11. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие 318
Глава 19. Двойной интеграл 320
19.1. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл 320
19.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах 322
19.3. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах 326
19.4. Вычисление площадей плоских областей 330
19.5. Вычисление объемов тел 332
19.6. Вычисление площадей поверхностей 336
19.7. Приложения двойных интегралов в механике 340
19.8. Несобственные двойные интегралы 344
Глава 20. Тройной интеграл 349
20.1. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла 349
20.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах 350
20.3. Замена переменных в тройном интеграле 353
20.4. Приложения тройных интегралов 357
Глава 21. Криволинейные интегралы 363
21.1. Криволинейные интегралы первого рода 363
21.2. Криволинейные интегралы второго рода 367
21.3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 371
21.4. Приложения криволинейных интегралов 373
Глава 22. Интегралы по поверхности 377
22.1. Поверхностные интегралы первого рода 377
22.2. Поверхностные интегралы второго рода 380
22.3. Формула Стокса. Формула Остроградского 384
22.4. Приложения интегралов по поверхности 386
Глава 23. Числовые ряды
23.1. Основные понятия. Необходимый признак сходимости 389
23.2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши 394
23.3. Признак Д'Аламбера. Признак Коши. Другие признаки 397
23.4. Знакопеременные ряды 400
23.5. Действия над рядами 404
23.6. Некоторые числовые ряды и их суммы 405
Глава 24. Функциональные ряды 408
24.1. Сходимость функциональных рядов 408
24.2. Равномерная сходимость функциональных рядов 410
24.3. Степенные ряды. Действия над степенными рядами 412
24.4. Ряд Тейлора. РядМаклорена417
24.5. Применения рядов в приближенных вычислениях 421
24.6. Ряды Фурье 422
24.7. Степенные ряды с комплексной переменной 427

IV ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 431
Глава 25. Дифференциальные уравнения первого порядка 432
25.1. Уравнение с разделяющимися переменными 432
25.2. Однородные уравнения 433
25.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли 434
25.4. Уравнения в полных дифференциалах 436
25.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 437
Глава 26: Дифференциальные уравнения второго порядка 439
26.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка 439
26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 442
26.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 443
Глава 27. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений 446
27.1. Основные понятия 446
27.2. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков 447
27.3. Линейные однородные уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами 449
27.4. Линейные неоднородные уравнения и-гр порядка с постоянными коэффициентами 451
27.5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 453
27.6. Нормальные системы дифференциальных уравнений 454
27.7. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 457
Глава 28. Дифференциальные уравнения с частными производными 460
28.1. Основные определения 460
28.2. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 461
28.3. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка 463
28.4. Основные дифференциальные уравнения математической физики 467
Глава 29. Элементы векторного и тензорного анализа 471
29.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля 471
29.2. Градиент скалярного поля. Производная по направлению 472
29.3. Векторное поле. Векторные линии 475
29.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема Остроградского 476
29.5. Циркуляция векторного поля 478
29.,6. Ротор векторного поля. Теорема Стокса 478 29.7> Потенциальное поле 480
29.8. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа 481
29.9. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора 483
29.10. Действия над тензорами 486
29.11. Тензоры в евклидовом пространстве 488
29.12. Тензорное поле 489

V ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 491
Глава 30. Приближенное решение уравнений 491
30.1. Отделение корней уравнения 491
30.2. Метод хорд 492
30.3. Метод касательных 494
30.4. Метод итераций 495
30.5. Метод Чебышева 496
Глава 31. Интерполирование функций 497
31.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа 497
31.2. Разности различных порядков. Разделенные разности 499
31.3. Интерполяционный многочлен Ньютона 501
Глава 32. Приближенное вычисление определенных интегралов 505
32.1. Формулы прямоугольников 505
32.2. Формула трапеций 506
32.3. Формула парабол 507
32.4. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов 509
Глава 33. Приближенное решение дифференциальных уравнений 511
33.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 511
33.2. Метод Эйлера 514
33.3. Метод Рунге - Кутта 515

VI ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 518
Глава 34. Случайные события и их вероятности 518
34.1. Классификация событий 518
34.2. Действия над событиями. Соотношения между событиями 518
34.3. Различные определения вероятности события 519
34.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий 522
34.5. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса 525
Глава 35. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики 326
35.1. Дискретные случайные величины 526
35.2. Функция распределения. Плотность распределения 527
35.3. Математическое ожидание случайной величины 529
35.4. Дисперсия случайной величины 530
35.5. Некоторые другие числовые характеристики 532
35.6. Некоторые законы распределения случайных величин 533
35.7. Основные теоремы теории вероятностей 536
Глава 36. Элементы математической статистики и математической обработки результатов измерений 538
36.1. Основные понятия математической статистики 538
36.2. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 542
36.3. Оценка точного значения измеряемой величины 543
36.4. Оценки точности измерений 544
36.5. Эмпирические формулы 545

VII ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 547
Глава 37. Элементы теории функций комплексной переменной 547
37.1. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность 547
37.2. Основные элементарные функции комплексной переменной 549
37.3. Дифференцирование функций комплексной переменной 553
37.4. Интегрирование функций комплексной переменной 556
37.5. Интегральная формула Коши 561
37.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана 563
37.7. Нули функции. Особые точки 569
37.8. Вычеты функций 573
Глава 38. Элементы операционного исчисления 578
38.1. Оригинал и изображение 578
38.2. Основные правила и формулы операционного исчисления 580
38.3. Основные теоремы операционного исчисления 585
38.4. Решение дифференциальных уравнений и их систем 589 Приложение. Некоторые оригиналы и их изображения 597
Некоторые математические знаки й даты их возникновения 599
Биографический словарь 601
Предметный указатель 615