
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ' . I 3 ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5 § 1. Дифференциальные уравнения 5 § 2. Классификация дифференциальных уравнений . 5 § 3. Общее семейство решений, частное и особое решения 6 § 4. Элементарные дифференциальные уравнения 7. § 5. Выделение индивидуальных решений 8 § 6. Построение решения в виде степенного ряда 10 § 7. Метод последовательных приближений И § 8. Продолжение решений 12 ГЛАВА II. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ § 1. Общие принципы .. тз § 2. Методика составления дифференциальных уравнений 13 § 3. Схема составления дифференциального уравнения 15 ГЛАВА III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Об) § 1. Притяжение стержня и материальной точки ........ ^Чб' § 2. Движение тел постоянной массы 18 § 3. Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..... 26 § 4. Растяжение упругой нитн .. 30 § 5. Работа опорожнения сосудов 34 § 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине ....... 35 § 7. Нагрев тела 37 § 8. Изменение состояния газов в сосудах 40 ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ § 1. Охлаждение тел , 43 § 2. Нагрев тел . 46 § 3. Распределение температуры внутри тел , 48 § 4. Брус равного напряжения 51 § 5. Давление зерна на стенки хранилища . 53 § 6. Барометрическая формула и глубинное давление . 55 § 7. Прямолинейное горизонтальное движение .....».? 58 § 8. Вертикальное движение тел 65 § 9. Падение тел переменной массы . . , SI § 10. Криволинейное движение (кривая погони) 83 § 11. Вращение тел в жидкости . 86 § 12. Закон всемирного тяготения 88 § 13. Радиоактивный распад ., 94 § 14. Электрические заряды 95 § 15. Поверхность фрезы ,.. 99 § 16. Трение ременной передачи ,,,.., 101 § 17. Истечение жидкости из сосудов 103 § 18. Наполнение сосудов ,,,... 108 § 19. Установление уровня в сообщающихся сосудах .. 108 § 20. Кривая депрессии «,.,.. ПО § 21. Обеднение раствора ...... s .. 112 § 22. Растворение твердых тел ИЗ § 23. Вентиляция производственного помещения . . . , . , . 119 § 24. Газовые смеси . . 120 § 25. Ионизация газов .,. 121 § 26. Химические реакции 122 § 27. Рост населения 133 § 28. Процессы роста в природе н производстве 142 § 29. Экология популяций 150 § 30. Плотность муравьев вне муравейника . . • . . * , . . 157 § 31. Рост денежных вкладов 161 ГЛАВА V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА , § 1. Изогональные траектории . ТБЗ § 2. Геометрические приложения . 165 § 3. Зеркало, фокусирующее параллельные лучи . 170 § 4. Траектории полета самолетов 171 ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ § 1. Параболическое зеркало 180 § 2. Концентрация вещества в жидкости 182 ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Геометрические приложения «ю § 2. Движение материальной точки 188 § 3. Температура охлаждающего тела § 4. Нагрев тела при стационарном теплопотоке § 5. Электрические цепи § 6. Рационализаторские предложения § 7. Работа сердца § 8. Задача о сигарете . ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО) § 1. Уравнение Бернулли § 2. Уравнение Риккати | 3. Уравнение Лагранжа § 4. Уравнение Клеро ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с) § I. Скольжение тела под наклоном !Ш § 2. Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном силе тяжести 220 § 3. Выброс вверх (без учета треиия) 231 § 4. Распределение теплоты в стержне 231 § 5. Расстояние между фермами железнодорожного моста . . . ... 233 ГЛАВА X. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С 236^ I. Уравнения типа y"=f(x) § 1. Переходная кривая железнодорожного пути 237 § 2. Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости 230 § 3. Упругая линия балок 242 II. Уравнения типа «/"=/((«/) §' 4. Геометрические приложения 255 § 5. Движение материальной точки под действием силы притяжения . 256 III. Уравнения типа y"=f(y') § 6. Определение кривой по радиусу кривизны 257 § 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения 259 § 8. Движение в вертикальной плоскости 274 § 9. Равновесие тяжелой нити 280 § 10. Гибкая иить равного сопротивления 283 IV. Уравнения типа y"=f(x,y') § II. Кривая и раднус кривизны 285 V. Уравнения типа y"—f(y, у') § 12. Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны . . . 286 ГЛАВА XI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288 \ I. Неполные линейные дифференциальные уравнения § I. Гармонические колебания 296 § 2. Движение тела без трения 307 § 3. Дифференциальный манометр 312 § 4. Распределение теплоты в стержнях 313 § 5. Продольный изгнб прямого стержня 320 § 6. Движение шарика в трубке (задача Ампера) 328 II. Линейные дифференциальные уравнения § 7. Затухающие колебания 330 § 8. Затухающие колебания в электрической цепи 335 § 9. Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя 3 § 10. Вынужденные колебания механических систем 350 ГЛАВА XII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 363 I. Уравнение Эйлера ^*—^ § 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечсннн 303 II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами § 2. Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямэ) . . 366 III. Линейное неоднородное уравнение с рацио и ильным и коэффициентами § 3. Скорость течения жидкости в трубопроводе Я74 § 4. Изгиб круглой пластины , 970 ГЛАВА XIII. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ. ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) Г 385 ^ I. Уравнение Бесселя • § 1. Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной силой 390 § 2. Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392 § 3. Устойчивость вращения гибкой нити 395 § 4. Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398 П. Обобщенное уравнение Бесселя § 5. Маятник переменной длины 400 § 6. Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной распределенной нагрузки 402 III. Дифференциальные уравнения в частных производных § 7. Колебания круглой мембраны 405 IV. Уравнение Лежандра § 8. Электрический потенциал двух равносильных зарядов 413 § 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала . . . 415 § 10. Потенциал притягивающих масс 417 V. Уравнение Матье § 11. Динамическая устойчивость стержня под действием переменной_продолыюй силы 424 ГЛАВА XIV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ( 436 § 1. Разложение вещества ^~4ЦЙ-' § 2. Относительная кривая погони ( 442 § 3. Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом 445 § 4. Напряженное состояние диска под действием центробежных сил . . . 447 § 5. Превращение одного вещества в другое 453 ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ, высших ПОРЯДКОВ § 1. Линия прогиба неразрезиой балки от распределенной нагрузки . . . ТЗв ГЛАВА XVI. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (463 } § 1. Паровая машина с регулятором ^4вт ГЛАВА XVII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ § 1. Колебания вала от действия центробежных сил , ^~?72 § 2. Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании 477 § 3. Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному) . . . 482 ГЛАВА XVIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 485 § I. Деформация стенок цилиндрического резервуара 487 § 2. Железнодорожная шпала 490 ГЛАВА XIX. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 495 § 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию * 497 § 2. Выброс тела под углом 500 § 3. Сброс груза с самолета в заданную точку 503 § 4. Движение планет 504 § 5. Система двух связанных электрических контуров 509 § 6. Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений) 513 § 7. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания . . 519 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 529 I. Дифференциальные уравнения первого порядка .... 529 II. Дифференциальные уравнения второго порядка .. 545 III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка . . . . 555 IV. Системы дифференциальных уравнений второго порядка . 557
|