Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С.3

ЧАСТЬ 3.   ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ 7
ОТ АВТОРОВ 8
Глава 11. Векторный анализ 9
§ 1. Скалярные и векторные поля. Градиент 9
1. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей. 2. Производная по направлению и градиент скалярного поля
§ 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 13
1. Криволинейный интеграл 1-го рода. 2. Поверхностный интеграл 1-го рода. 3. Криволинейный интеграл 2-го рода. 4. Поверхностный интеграл 2-го рода
§ 3. Соотношения между различными характеристиками скалярных и векторных полей 28
1. Дивергенция векторного поля и теорема Гаусса-Остроградского. 2. Вихрь векторного поля. Теорема Стокса. 3. Оператор Гамильтона и его применение. 4. Дифференциальные операции 2-го порядка
§ 4. Специальные виды векторных полей 35
1. Потенциальное векторное поле. 2. Соленоидальное поле. 3. Ла-пласово (или гармоническое) поле
§ 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 41
1. Криволинейные координаты. Основные соотношения. 2. Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. 3. Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля
Глава 12. Ряды и их применение 47
§ 1. Числовые ряды 47
1. Сходимость ряда. Критерий Коши. 2. Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости. 3. Признаки условной сходимости
§ 2. Функциональные ряды 61
1. Область сходимости функционального ряда. 2. Равномерная сходимость. 3. Свойства равномерно сходящихся рядов
§ 3. Степенные ряды 68
1. Область сходимости и свойства степенных рядов. 2. Разложение функций в ряд Тейлора. 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение
§ 4. Применение степенных рядов 80
1. Вычисление значений функций. 2. Интегрирование функций. 3. Нахождение сумм числовых рядов. Убыстрение сходимости. 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 5. Уравнение и функции Бесселя
§ 5. Ряды Лорана 93
1. Ряды Лорана. Теорема Лорана. 2. Характер изолированных особых точек
§ 6. Вычеты и их применение 100
1. Вычет функции и его вычисление. 2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов. 3. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. 4. Принцип аргумента
§ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 111
1. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. 2. Двойные ряды Фурье. 3. Интеграл Фурье. 4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье. 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Глава 13. Теория функций комплексной переменной 125
§ 1. Элементарные функции 125
1. Понятие функции комплексной переменной. 2. Основные элементарные функции комплексной переменной. 3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
§ 2. Аналитические функции. Условия Коши-Римана 134
1. Производная. Аналитичность функции. 2. Свойства аналитических функций
§ 3. Конформные отображения 140
1. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. 2. Конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функции. 3. Степенная функция. 4. Функция Жуковского. 5. Показательная функция. 6. Тригонометрические и гиперболические функции
§ 4. Интеграл от функции комплексной переменной 152
1. Интеграл по кривой и его вычисление. 2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
Глава 14. Операционное исчисление 163
§ 1. Преобразование Лапласа 163
1. Определение и свойства преобразования Лапласа. 2. Расширение класса оригиналов
§ 2. Восстановление оригинала па изображению 172
1. Элементарный метод. 2. Формула обращения. Теоремы разложения
§ 3. Применения операционного исчисления 179
1. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами. 2. Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. 3. Интегрирование линейных уравнений в частных производных. 4. Вычисление несобственных интегралов. 5. Суммирование рядов. 6. Применение операционного исчисления при расчете электрических цепей
§ 4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение . . 198
1. Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа. 2. Решение разностных уравнений
Глава 15. Интегральные уравнения 210
§1. Интегральные уравнения Вольтерра 210
1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с дифференциальными уравнениями. 2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью резольвенты. 3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки. 4. Уравнения Вольтерра 1-го рода
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма 232
1. Основные понятия. Метод последовательных приближений и резольвента для уравнений Фредгольма 2-го рода. 2. Решение уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. 3. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы Фредгольма. 4. Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром
§ 3. Численные методы решения интегральных уравнений 259
Глава 16. Уравнения в частных производных 267
§ 1. Основные задачи и уравнения математической физики . 267
1. Вывод уравнений и постановка задач математической физики. 2. Приведение уравнений к каноническому виду
§ 2. Аналитические методы решения уравнений математической физики 275
1. Метод Даламбера. 2. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы. 3. Ортогональные ряды. 4. Метод Фурье решения уравнений математической физики
§ 3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 301
1. Основные понятия метода сеток. 2. Численное решение краевых задач методом сеток
Глава 17. Методы оптимизации 323
§ 1. Численные методы минимизации функций одной переменной 323
1. Основные понятия. Прямые методы минимизации. 2. Методы минимизации, основанные на использовании производных функции
§ 2. Безусловная минимизация функций многих переменных 340
1. Выпуклые множества и выпуклые функции. 2. Методы безусловной минимизации, основанные на вычислении первых производных функции. 3. Методы безусловной минимизации, использующие вторые производные функции
§ 3. Линейное программирование 353
1. Постановки задач линейного программирования. Графический метод решения. 2. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. 3. Целочисленное линейное программирование
§ 4. Нелинейное программирование 386
1. Задачи, сводящиеся к линейному программированию. 2. Методы возможных направлений. 3. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования. 4. Методы штрафных и барьерных функций
§ 5. Дискретное динамическое программирование 419
§ 6. Вариационное исчисление 435
1. Предварительные сведения. Простейшая задача вариационного исчисления. 2. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. 3. Задачи с подвижными границами. 4. За¬дачи на условный экстремум. 5. Прямые методы вариационного исчисления
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 467
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 575