Практикум по высшей математике. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. |
Практикум по высшей математике. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М.

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие. 3 1. Векторная алгебра 5 1.1. Линейные операции над векторами 5 1.2. Линейная комбинация векторов 21 Векторный базис на плоскости и в пространстве 21 Действия над векторами, заданными своими координатами 23 Общая (аффинная) декартова система координат 33 Линейная зависимость. Понятие базиса 39 1.3. Прямоугольная декартова система координат 46 1.4. Скалярное произведение векторов 57 1.5. Векторное произведение векторов 71 1.6. Смешанное произведение векторов 78 2. Аналитическая геометрия 84 2.1. Прямая на плоскости 84 2.2. Плоскость 120 2.3. Прямая и плоскость в пространстве 130 2.4. Полярная система координат 143 2.5. Линии второго порядка 144 Окружность 144 Гипербола 153 Парабола 159 Уравнения кривых второго порядка в смещенной системе координат 163 Алгебраические кривые второго порядка 165 2.6. Канонические поверхности второго порядка 177 3. Линейная алгебра 186 3.1. Определители и матрицы 186 Определители 186 Матрицы 191 3.2. Линейное (векторное) пространство 202 3.3. Системы линейных алгебраических уравнений 205 Правило Крамера 205 Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Калелли 208 Метод Гаусса 212 Однородные линейные алгебраические системы 219 3.4. Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы ..231 4. Комплексные числа 237 4.1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел 237 4.2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел 242 4.3. Показательная форма записи комплексных чисел 251 5. Функции одной переменной 255 5.1. Понятие функции одной переменной 255 5.2. Предел числовой последовательности и его свойства 260 Замечательные пределы и их следствия 265 О-символика 266 5.3. Предел функции 269 Замечательные пределы и их следствия 276 Эквивалентные бесконечно малые функции ... 276 5.4. Непрерывность функции в точке и на промежутке 282 5.5. Производная и дифференциал 286 Производная функции, заданной явно 286 Производные функций, заданных параметрически и неявно 293 Производные и дифференциалы высших порядков 295 5.6. Приложения производных и дифференциалов 304 Геометрический смысл производной и дифференциала 304 Физический смысл производной и дифференциала 306 Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя 309 Формула Тейлора 313 Исследование функций. Промежутки монотонности и экстремумы функций 317 Общая схема анализа свойств функции и построения ее графика 326 Задача о наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке 330 6. Функция одной переменной: интегральное исчисление 335 6.1. Неопределенный интеграл 335 Основные методы интегрирования 337 Интегрирование рациональных дробей 346 Интегрирование иррациональных выражений ..353 Интегралы от тригонометрических функций.. 361 6.2. Определенный интеграл 371 Практикум по высшей математике 628 Методы вычисления определенного интеграла 373 6.3. Несобственные интегралы 380 Интегралы от неограниченных функций 380 Интегралы с бесконечными пределами 383 6.4. Приложения определенного интеграла 386 Вычисление площадей 386 Вычисление длин дуг 395 Вычисление объемов 400 Вычисление площади поверхности вращения 405 Механические приложения определенного интеграла 407 Приближенное вычисление определенных интегралов 410 7. Функции нескольких переменных 415 7.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 415 n-мерное евклидово пространство 415 Предел функции нескольких переменных. Непрерывность 418 Частные производные и дифференциалы. Полный дифференциал 421 Производные сложных функций 426 Производная по направлению. Градиент 428 Частные производные и дифференциалы высших порядков 432 Дифференцирование неявных функций 435 Замена переменных в дифференциальных выражениях 437 7.2. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных . 442 Формула Тейлора 442 Экстремумы функций нескольких переменных 445 Абсолютный экстремум 452 Геометрические приложения 466 7.3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных 474 Двойные интегралы 474 Тройные интегралы 489 7.4. Несобственные двойные и тройные интегралы 498 7.5. Приложения двойных и тройных интегралов 505 Вычисление площадей плоских фигур и поверхностей 505 Вычисление объемов 513 Физические приложения двойных и тройных интегралов , 518 7.6. Криволинейные и поверхностные интегралы и их приложения 525 Криволинейные интегралы первого рода 525 Криволинейные интегралы второго рода 530 Интегрирование полных дифференциалов 533 Формула Грина и ее применение 536 Поверхностный интеграл первого рода 538 Поверхностный интеграл второго рода 542 Формула Стокса. Формула Остроградского..... 544 Практикум по высшей математике 630 8. Дифференциальные уравнения 549 8.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 549 Уравнения с разделяющимися переменными.. 550 Однородные уравнения 554 Линейные уравнения 557 Уравнение Бернулли .. 561 Уравнения в полных дифференциалах 562 Уравнения, не разрешенные относительно производной 564 8.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков 571 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 571 Линейные уравнения n-го порядка 576 Однородные линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 577 Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами 579 8.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 585 Системы линейных уравнений 585 9. Ряды 594 9.1. Числовые ряды 594 Признаки сходимости рядов 595 9.2. Функциональные, степенные ряды 608 Ряды Тейлора и Маклорена 609 9.3. Ряды Фурье 617 Литература 624
|