Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Красс М.С., Чупрынов Б.П. |
Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Красс М.С., Чупрынов Б.П.

СОДЕРЖАНИЕ Введение 11 Раздел I ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 14 Глава 1. МНОЖЕСТВА 14 1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами 14 1.2. Вещественные числа и их свойства 16 1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней 18 1.4. Комплексные числа 20 1.5. Абсолютная величина числа 27 Упражнения 28 Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 28 2.1. Числовые последовательности 28 2.2. Применение в экономике 35 Упражнения 37 Глава 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 38 3.1. Понятие функции 38 3.2. Предел функции 46 3.3. Теоремы о пределах функций 48 3.4. Два замечательных предела 50 3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 53 3.6. Понятие непрерывности функции 53 3.7. Непрерывность элементарных функций 55 3.8. Понятие сложной функции 58 3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости 59 Упражнения 64 Глава 4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 66 4.1. Понятие производной 66 4.2. Понятие дифференциала функции 70 4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного 72 4.4. Таблица производных простейших элементарных функций 72 4.5. Дифференцирование сложной функции 73 4.6. Понятие производной п-го порядка 75 Упражнения 76 Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ 78 5.1. Раскрытие неопределенностей 78 5.2. Формула Маклорена 81 5.3. Исследование функций и построение графиков 84 5.4. Применение в экономике 96 Упражнения 102 Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 104 6.1. Первообразная и неопределенный интеграл 104 6.2. Основные свойства неопределенного интеграла 105 6.3. Таблица основных неопределенных интегралов 106 6.4. Основные методы интегрирования 108 Упражнения 114 Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 116 7.1. Условия существования определенного интеграла 116 7.2. Основные свойства определенного интеграла 118 7.3. Основная формула интегрального исчисления 119 7.4. Основные правила интегрирования 121 7.5. Геометрические приложения определенного интеграла 124 7.6. Некоторые приложения в экономике 129 7.7. Несобственные интегралы 132 Упражнения 137 Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 138 8.1. Евклидово пространство Е" 138 8.2. Множества точек евклидова пространства Е" 140 8.3. Частные производные функции нескольких переменных 146 8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 151 8.5. Применение в задачах экономики 154 Упражнения 160 Часть2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 162 Глава 9. ВЕКТОРЫ 162 9.1. Векторное пространство 162 9.2. Линейная зависимость векторов 165 9.3. Разложение вектора по базису 167 Упражнения 171 Глава 10. МАТРИЦЫ 171 10.1. Матрицы и операции над ними 171 10.2. Обратная матрица 181 10.3. Линейные операторы 182 10.4. Квадратичные формы 185 Упражнения 187 Глава 11. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 189 11.1. Операции над определителями и основные свойства 189 11.2. Ранг матрицы и системы векторов 194 11.3. Критерий знакоопределенности квадратичной формы 195 Упражнения 197 Глава 12. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 199 12.1. Основные понятия 199 12.2. Методы решения систем линейных уравнений 201 12.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 212 12.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений 213 12.5. Однородные системы линейных уравнений 215 Упражнения 220 Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ 222 13.1. Использование алгебры матриц 222 13.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики 229 13.3. Линейная модель торговли 236 Упражнения 239 ЧАСТЬ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 241 Глава 14. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 241 14.1. Основные понятия теории вероятностей 242 14.2. Теорема сложения вероятностей 245 14.3. Теорема умножения вероятностей 248 14.4. Обобщения теорем сложения и умножения 252 14.5. Схема независимых испытаний 259 Упражнения 266 Глава 15. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 269 15.1. Случайные величины и законы их распределения 269 15.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 274 15.3. Система двух случайных величин 284 15.4. Непрерывные случайные величины 290 15.5. Основные распределения непрерывных случайных величин 298 15.6 Задачи математической статистики 305 15.7. Статистические оценки статистических гипотез 320 15.8. Закон больших чисел 326 15.9. Цепи Маркова 327 Упражнения 330 Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 335 Глава 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 336 16.1. Основные понятия 336 16.2. Уравнения с разделяющимися переменными 340 16.3. Неполные уравнения 342 16.4. Линейные уравнения первого порядка 343 Упражнения 346 Глава 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 347 17.1. Основные понятия теории 347 17.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 349 17.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 352 17.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка 357 Упражнения 359 Глава 18. АППАРАТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ 360 18.1. Дифференциальные уравнения первого порядка 360 18.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) 369 Упражнения 372 Раздел II ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТЬ 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 376 Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В N-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 378 19.1. Основные понятия и определения 378 19.2. Решение систем т линейных неравенств с двумя переменными 382 Упражнения 386 Глава 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 387 20.1. Постановка задачи 387 20.2. Алгоритм решения задач 387 20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий 388 20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода 390 Упражнения 394 Глава 21. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД 397 21.1. Общая постановка задачи 397 21.2. Алгоритм симплексного метода 397 21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия 400 21.4. Альтернативный оптимум 402 Упражнения 405 Глава 22. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 410 22.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей 410 22.2. Основные теоремы двойственности 412 22.3. Решение двойственных задач 413 22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности 419 22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов 421 Упражнения 425 Глава 23. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 428 23.1. Общая постановка задачи 428 23.2. Нахождение исходного опорного решения 430 23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю 430 23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность 432 23.5. Переход от одного опорного решения к другому 434 23.6. Открытая транспортная задача 436 23.7. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений 438 Упражнения 440 Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 441 24.1. Общая формулировка задачи 441 24.2. Графический метод решения задач 443 24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей 444 24.4. Метод Гомори 445 Упражнения 447 Часть 6. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 450 Глава 25. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 450 25.1. Общая постановка задачи 450 25.2. Графический метод 451 25.3. Метод множителей Лагранжа 457 Упражнения 460 Глава 26. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 462 26.1. Постановка задачи 462 26.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования 464 Упражнения 479 Глава 27. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ 483 27.1. Основные понятия сетевой модели 483 27.2. Минимизация сети 502 Упражнения 507 Глава 28. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР 513 28.1. Графическое решение игр вида (2хя) и (тх2) 518 28.2. Решение игр (a,;)mxn с помощью линейного программирования 526 28.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях 528 28.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования 530 28.5. Игры с "природой" 532 28.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр 533 28.7. «Дерево» решений 537 Упражнения 543 Глава 29. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) 548 29.1. Формулировка задачи и характеристики СМО 548 29.2. СМО с отказами 551 29.3. СМО с неограниченным ожиданием 552 29.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди 553 29.5. Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания 555 Упражнения 560 Часть 7. ОСНОВЫ ЭКОНОМЕТРИКИ 563 Глава 30. Нелинейная регрессия и корреляция 563 30.1. Нелинейная регрессия 563 30.2. Нелинейная корреляция 570 Упражнения 573 Глава 31. Множественная регрессия и корреляция 574 31.1. Нормальная линейная модель множественной регрессии 574 31.2. Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции 580 31.3. Отбор факторов и методы построения множественной линейной корреляционной и регрессионной зависимости 582 31.4. Множественная линейная регрессионная зависимость 588 Упражнения 595 Глава 32. Прогнозирование экономических процессов 597 32.1. Элементы временного ряда 597 32.2. Основные показатели динамики экономических процессов 605 32.3. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании 611 Упражнения 623 ЧАСТЬ 8. ПРАКТИКУМ 628 Ответы к упражнениям 681 Приложение 703 Литература 711 Предметный указатель 712
|