Математический анализ. Неопределенный интеграл (в помощь практическим занятиям)Хорошилова Е.В.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 8
§ 1. Понятие неопределённого интеграла
1.1. Историческая справка 10
1.2. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. . 14
1.3. Интегралы, выражаемые и невыражаемые в элементарных функциях 21
1.4. Основные свойства неопределённого интеграла 23
1.5. Таблица простейших интегралов 24
Задачи для самостоятельного решения 26
§ 2. Основные методы интегрирования
2.1. Интегрирование путём сведения к табличным интегралам с помощью простейших преобразований 27
2.2. Интегрирование путём замены переменной [ f(t(x))t'(x)dx = = \f(t)dt 28
2.3. Интегрирование по частям udv = uv — vdu 33
§ 3. Интегрирование рациональных функций
3.1. Интегралы вида [ dx (ас Ф 0;сх + d Ф 0) 40
3.2. Интегралы вида [— (а Ф 0) 41
3.3. Интегралы вида \-( у г (а Ф Ь) 41
3.4. Интегралы вида — — (а Ф b;m,n e N) 42
3.5. Интегралы вида — dx [а Ф 0) 44
3.6. Интегралы вида Г-, ^— (п е iV, п > 2; Ъ1 - Ас 3.7. Интегралы вида f-А —^- (п е iV, п > 2; Ъ1 - 4с 3.8. Метод алгебраических преобразований 48
3.9. Представление рациональных дробей суммой простейших дробей с использованием метода неопределённых коэффициентов. 52
3.10. Метод М.В.Остроградского —)-^-dx = \ \ + \ \dx. 61
Задачи для самостоятельного решения 65
§ 4. Интегрирование иррациональных функций
4.1. Интегрирование линейных и дробно-линейных иррациональностей
4.1.1. Интегралы вида \я[х,л1ах + Ьрх, \R\ х «/— Ух... 68
4.1.2. Интегралы f^x/f^lAV' (^±Y J^±Y dx . 70
4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей
4.2.1. Интегралы вида Г л/ ОХ1 + Ъх + cdx 72
4.2.2. Интегралы вида ах +bx + c -dx 74
4.2.3. Интегралы вида 75
4.2.4. Интегралы вида 76
4.2.5. Интегралы вида . 77
4.2.6. Интегралы вида Г = [П G N) 78
4.2.7. Интегралы вида J- (fl G Z) 81
4.2.8. Интегралы вида \- (п G Z) 82
4.2.9. Интегралы вида -; г—. 83
4.2.10. Интегралы вида . 89
4.2.11. Интегралы вида i?lx, л/й — X UX , а также
4.2.12. Интегралы вида \щх, л/а2 + х2 их 93
4.2.13. Интегралы вида \Щх, л/Х — а Ш^атаюке
4.2.14. 1-я подстановка Эйлера Vax2 + Ъх + С = t - Xy[a (a > O) . . 99
4.2.15. 2-я подстановка Эйлера ax2 +bx + c =xt + 4c (о О). . 101
4.2.16. 3-я подстановка Эйлера iJciyX — A^X — jU) = t[X — Я) 102
4.3. Интегрирование биномиальных дифференциалов
4.4. Умножение на сопряжённое выражение, нестандартные подстановки и другие преобразования 107
Задачи для самостоятельного решения 111
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
5.1. Интегралы вида i?(sin X, COS x)dx, где R - рациональная функция 118
5.1.1. Метод универсальной подстановки 118
5.1.2. Случай, когда Я{- sinX,COSx) = -7?(sinX,COSx) 119
5.1.3. Случай, когда R(sinх,- cosх) = -R(sinх, cosx) 121
5.1.4. Случай, когда R{- sinX,-COSx) = 7?(sinX,COSx) 121
5.2. Интегралы вида sin" xcos xdx (n,mG Z) 123
5.2.1. Интегралы вида sin" xdx , COS" xdx (fl G N) 123
5.2.2. Случай, когда П и ТП - положительные чётные числа 125
5.2.3. Случай, когда П или ТП - натуральное нечётное число 126
5.2.4. Случай, когда П и ТП -целые отрицательные числа одной чётности. 127
5.2.5. Интегралы вида , [П G N) 128
5.2.6. Случай, когда П и ТП - целые отрицательные числа, причём одно из них нечётное 131
5.2.7. Случай, когда один из показателей - чётный, а другой - целый отрицательный 131
5.2.8. Случай, когда один из показателей - нечётный, а другой - целый отрицательный 132
5.3. Интегралы вида [ sin ax cos bxdx , \ sin ax sin bxdx, cos ax cos bxdx, а также sin ax sin bx sin cxdx 133
5.4. Интегралы вида \tg"xdx, \ctg"xdx (n G N) 134
5.5. Интегралы вида \tg X ctg X , где TIG R,
5.6. Интегралы вида . . . 135
5.7. Интегралы вида — 138
5.8. Интегралы вида 
5.9. Интегралы вида [ — 140
5.10. Интегралы вида — ax, — -dx,
5.11. Интегрирование по частям 147
5.12. Другие подстановки и подходы к интегрированию 148
Задачи для самостоятельного решения 152
§ 6. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические, показательные, логарифмические и другие трансцендентные функции
6.1. Интегрирование гиперболических функций 158
6.2. Интегрирование показательных функций 163
6.3. Интегрирование логарифмических функций 166
6.4. Интегрирование обратных тригонометрических функций 170
Задачи для самостоятельного решения 174
Список использованной литературы 180