Математический анализ для инженеров. В 2 ч. Сенчук Ю.Ф. 2

Часть 2
Предисловие 4
XII. Криволинейные интегралы и интегралы ио иоверхиости 5
1. Криволинейные интегралы 1 -го рода и их вычисление 5
2. Некоторые применения криволинейных интегралов 1 -го рода 6
3. Интегралы по поверхности 1 -го рода 8
4. Криволинейные интегралы 2-го рода 10
5. Вычисление криволинейных интегралов 2 -го рода 12
6. Связь между криволинейными интегралами 1 -го и 2-го рода 14
7. Формула Грина-Римана 15
8. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования 17
9. Условие полного дифференциала 20
10.Нахождение функции по ее полному дифференциалу 22
11 .Интегралы по поверхности 2-го рода 23
12.Формула Остроградского-Гаусса 28
13.Формула Стокса 29
14.Условия независимости криволинейного интеграла по пространственной дуге от формы дуги 32
Задачи и уиражиеиия к главе XII 33
XIII. Питегралы зависящие от параметра 37
1. Определенный интегралы, зависящие от параметра 37
2. Дифференцирование и интегрирование определенных интегралов по параметру 40
3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 44
4. Предельный переход по параметру под знаком несобственного интеграла 47
5. Непрерывность несобственного интеграла по параметру 48
6. Интегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру 49
7. О других признаках равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру 55
8. Другие виды несобственных интегралов, зависящих от параметра 56
9. Гамма-функция и ее основные свойства 57
10.Формула Стирлинга 58
11 .Производная гамма-функции 60
12.Бэта-функция 61
XIV. Основы математической теории иоля 63
1. Понятие скалярного поля 63
2. Производная скалярного поля в данном направлении 64
3. Градиент скалярного поля 66
4. Свойства градиента 68
5. О плоскопараллельном поле 69
6. Векторное поле 70
7. Поток векторного поля через поверхность 73
8. Дивергенция векторного поля 75
9. Теорема Остроградского-Гаусса. Соленоидальное поле 78
Ю.Циркуляция и ротор векторного поля 80
11 .Свойства ротора. Теорема Стокса 83
12.Потенциальное поле 85
13.Потенциал электрического поля 88
14.Символические операторы теории поля 91
15 .Произвольные системы ортогональных криволинейных координат 92
16.Вычисление градиента, дивергенции, лапласиана и ротора в цилиндрических координатах 94
17.Градиент, дивергенция, лапласиан и ротор в сферических координатах. 100
XV. Обыкновенные дифференциальные уравнения 104
1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 104
2. Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями 104
3. Простейшие сведения об уравнениях 1-го порядка 105
4. Уравнения с разделяющимися переменными 108
5. Уравнения, однородные в смысле Эйлера 109
6. Линейные уравнения 1 -го порядка 111
7. Уравнение Бернулли 113
8. Геометрический смысл дифференциального уравнения 1 -го порядка ... 115
9. Составление дифференциального уравнения 1-го порядка по его общему решению 115
10 .Нахождение ортогональных траекторий семейств кривых 116
11 .Особое решение уравнения 1 -го порядка 118
12.Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков... 119
13 .Простейшие случаи понижения порядка уравнений 121
14 .Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 124
15.Однородные линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 128
16.Общие теоремы о неоднородных линейных уравнениях 2-го порядка .. 131 
17.Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида 132
18.Исследование простейших колебательных процессов 138
19.Интегрирование неоднородных линейных уравнений 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных 141
20.Линейные уравнения высших порядков 143
XVI. Первичные сведения о системах лииейиых дифференциальных уравнений 147
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши 149
2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (СДУ) путем сведения к одному уравнению более высокого порядка 150
3. Метод интегрируемых комбинаций 151
4. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений 155
5. Интегрирование однородных линейных систем с постоянными коэффициентами 157
6. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений (НЛСДУ) 162
XVII. Простейшие приближенные методы иитегрироваиия Дифференциальных уравнений 170
1. Общие замечания 170
2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 170
3. Интегрирование дифференциальных уравнений 1 -го порядка конечно-разностным методом Эйлера 174
4. Оценка погрешности метода Эйлера в конечном интервале 176
5. Интегрирование нормальных систем 1-го порядка и уравнений высших порядков методом Эйлера 180
6. Интегрирование уравнений 1-го порядка методом Эйлера с полушагом 182
7. Общее описание метода Рунге-Кутта 185
8. Интегрирование дифференциальных уравнений методом Адамса-Штёрмера 187
XVIII. Ряды 190
1. Понятие о числовом ряде 190
2. Необходимый признак сходимости ряда 192
3. Сравнение рядов с положительными членами 192
4. Признак Даламбера 194
5. Интегральный признак Коши 197
6. Знакочередующиеся ряды 200
7. Знакопеременные ряды 201
8. Свойства абсолютно сходящихся рядов 203
Задачи и упражиеиия к главе XVIII 208
XIX. Функциональные ряды 210
1. Понятие о функциональном ряде 210
2. Равномерная сходимость функционального ряда 211
3. Непрерывность суммы функционального ряда 213
4. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 214
5. Последовательности функций и их свойства 217
Задачи и упражиеиия к главе XIX 218
XX. Стеиеииые ряды 219
1. Степенной ряд и область его сходимости 219
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 221
3. Ряд Маклорена 223
4. Разложение функций ex,smx, и COSJV В ряд Маклорена 226
6. Ряд Маклорена для функций ln(l + jr) и arctgx 231
7. Вычисление интегралов при помощи рядов 231
8. Ряд Тейлора как обобщение ряда Маклорена 232
Задачи и уиражиеиия к главе XX 233
XXI. Ряды Фурье 235
1. Некоторые предварительные сведения 235
2. Ряд Фурье для функции с периодом 2% 237
3. Теорема Римана-Лебега и ее следствия 239
4. Интеграл Дирихле 243
5. Принцип локализации 245
6. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции 246
7. Скорость убывания коэффициентов ряда Фурье 249
8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 250
9. Ряд Фурье функции с произвольным периодом 251
10.Тригонометрические ряды для функций, заданных на отрезке [-/,/] ... 252
11 .Комплексная форма ряда Фурье 254
12.Ряды Фурье по произвольным ортогональным и по ортонормированным системам функций 257
13.0 разных понятиях близости двух функций в промежутке 259
14.Минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье 260
15.Замкнутые системы функций 262
16 .Замкнутость системы тригонометрических функций 264
17 .Полнота системы тригонометрических функций 269
18 .Обобщенное уравнение замкнутости 270
19.Геометрическая аналогия разложения функции в ряд Фурье 270
20.Разложение функций в ряд Фурье по системе, ортогональной с весом.. 273
Задания к разделу XXI 274
XXII. Питеграл Фурье и преобразования Фурье 278
1. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 278
2. Одна предварительная формула 280
3. Представление функции интегралом Фурье 281
4. Аналогия между интегралом Фурье и рядами Фурье 283
5. Комплексная форма интеграла Фурье 284
6. Преобразование Фурье и его простейшие свойства 286
XXIII. Элементы спектральной теории сигналов 289
1. Спектральные характеристики периодических сигналов 289
2. О комплексном спектре периодического сигнала 290
3. Спектр непериодического сигнала 291
4. Теорема Рэлея и ее физический смысл 294
XXIV. Системы линейных дифференциальных уравнений 297
1. Основные сведения из векторно-матричного анализа 297
2. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений 1 -го порядка 301
3. Теорема Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений 303
4. Пространство решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка 308
5. Фундаментальная матрица и ее свойства 310
6. Выражение решения однородной линейной системы через ее фундаментальную матрицу 313
7. Вронскиан и формула Лиувилля 315
8. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами 318
9. Представление фундаментальной матрицы однородной линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи матричной экспоненты 328
10.Устойчивость и ограниченность решений однородной линейной системы с постоянными коэффициентами 329
11 .Общее решение неоднородной линейной системы 331
12.Выражение решения неоднородной линейной системы при помощи матрицы Коши 332
13 .Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами 334
14.Понятие о резонансе в линейной динамической системе 336
15.Устойчивость и асимптотическое поведение решений систем линейных уравнений Устойчивость и ограниченность решений однородных линейных систем с постоянными коэффициентами 337
16.Понятие о возмущенной системе и ее устойчивости 339
17.Лемма об интегральном неравенстве 340
18.Теоремы о решении линейных систем с малыми возмущениями 340
19.Теоремы об ограниченности решений некоторых линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка 344
20.Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие понятия 348
21 .Редукция линейной краевой задачи к задаче Коши 350
22.Редукция краевой задачи к уравнениям в конечных разностях 351
23 .Метод прогонки решения конечно-разностных уравнений линейной краевой задачи 354
24. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Общие сведения 356
25.Интегрирование линейных уравнений в частных производных 1-го порядка 357
26.Интегрирование квазилинейных уравнений в частных производных 1-го порядка 360
Задачи и упражнения к главе XXIV 362
Литература 365