Математический анализ для инженеров. В 2 ч. Сенчук Ю.Ф. |

Часть 1 Предисловие 3 I. Введение в математический анализ 6 1. Основные логические символы 6 2. Простейшие понятия и обозначения теории множеств 6 3. Рациональные и иррациональные числа 8 4. Модуль числа и его свойства 11 5. Интервалы и промежутки 12 6. Постоянные и переменные величины. Классификация переменных 13 7. Функция и способы её задания 15 8. Область определения функции 16 9. Чётные и нечётные функции. Периодические функции 17 10. Однозначные и многозначные функции 18 11. Обратная функция 18 12. Основные элементарные функции 20 13. Сложные функции 25 14. Элементарные функции 26 Упражнення к главе 1 26 II. Предел числовой последовательности 28 1. Определение предела числовой последовательности 28 2. Простейшие свойства пределов числовых последовательностей 30 3. Бесконечно большие последовательности 32 4. Бесконечно малые последовательности и их свойства 34 5. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей 36 6. Лемма о стягивающихся отрезках 38 7. Точная верхняя и нижняя грани числовых множеств 38 8. Предел монотонной последовательности 41 9. Решение характерных примеров на признаки существования пределов числовой последовательности 42 10. Лемма Больцано-Вейерштрасса 48 Упражнення к главе II 49 III. Предел функции. Непрерывность функций 51 1. Предел функции в точке и на бесконечности 51 2. Односторонние пределы функции в точке 54 3. Свойства пределов функций 56 4. Второе определение пределов функции в точке и на бесконечности 59 5. Непрерывность функции в точке и на промежутке 62 6. Другие формы определения непрерывности функции в точке 63 7. Основные теоремы о непрерывных функциях 65 8. Непрерывность основных элементарных функций 66 9. Классификация точек разрыва функций 68 10. О строгих определениях основных элементарных функций 71 11. Основные виды неопределенных выражений и простейшие способы их раскрытия 72 12. Сравнение бесконечно малых 75 13. Эквивалентные бесконечно малые 77 14. Первый замечательный предел и его следствия 80 15. Число е как предел числовой последовательности 83 16. Второй замечательный предел 84 17. Следствия второго замечательного предела 86 18. 0 сравнении бесконечно больших величин 89 19. Теоремы Больцано-Коши 90 20. Условие непрерывности монотонной функции 93 21. Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции 94 22. Теоремы Вейерштрасса 95 23. Равномерная непрерывность функции 97 Упражнения к главе III 99 IV. Производная и дифференциал 103 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной 103 2. Производная, ее геометрический смысл 104 3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.. 106 4. Производная степенной функции 107 5. Основные правила нахождения производной 108 6. Производная показательной и логарифмической функций ПО 7. Производные тригонометрических функций 111 8. Производная обратной функции 112 9. Производные обратных тригонометрических функций 112 10. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций 113 11. Таблица основных формул и правил нахождения производных.... 114 12. Производная сложной функции 115 13. Дифференцирование неявных функций 116 14. Логарифмическое дифференцирование 118 15. Геометрические и физические приложения производных 119 16. Производные высших порядков 122 17. Формула Лейбница 123 18. Дифференциал функции 125 19. Инвариантность дифференциала 128 20. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 128 21. Дифференциалы высших порядков 130 22. Параметрическое задание функций и линий 130 23. Дифференцирование функций, заданных параметрически 134 Задачи и упражнення к главе IV 136 V. Применение производных к исследованию функций и лнннн... 138 1. Случаи недифференцируемости функций, непрерывных в данной точке 138 2. Теорема Ферма 139 3. Теорема Ролля 140 4. Теорема Лагранжа и её следствия 142 5. ТеоремаКоши 144 6. Возрастание и убывание функции на промежутке 144 7. Экстремум функции 146 8. О наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке 148 9. О решении задач на наибольшее и наименьшее значения 150 10. Выпуклость и вогнутость линий. Точки перегиба 151 11. Второе правило исследования функции на экстремум 153 12. Нахождение асимптот линий 154 13. Схема и пример полного исследования функции 156 14.Кривизна плоской кривой 158 15. Радиус кривизны и центр кривизны 160 16. Эволюта, эвольвента и их свойства 162 17. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида — 18. Раскрытие неопределённостей вида — по правилу Лопиталя 169 19. Раскрытие показательно-степенных неопределённостей 173 20. Приближённое вычисление корней уравнений методом хорд и касательных 174 21. Приближённое решение уравнений итерационным методом Пикара 180 22. Формула Тейлора 185 Задачи и упражнення к главе V 188 VI. Неопределенный интеграл н необходимые сведения из алгебры 191 1. Первообразная функция 191 2. Неопределенный интеграл и простейшие формулы интегрирования 193 3. Свойства неопределенных интегралов 196 4. Интегрирование по частям 198 5. Интегрирование путем замены переменной 200 6. Таблица основных интегралов 202 7. Комплексные числа и действия с ними 203 8. Геометрическая форма комплексных чисел 206 9. Тригонометрическая форма комплексных чисел 207 10. Последовательность комплексных чисел и ее предел 209 11. Комплексная степень числа е 210 12. Понятие о комплекснозначных функциях 213 13. Показательная форма и логарифм комплексного числа 215 14. Формулы Эйлера 216 15. Разложение многочлена на множители 217 16. Рациональные дроби и их разложение на простейшие 219 17. Интегрирование рациональных дробей 225 18. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.. 227 19. Об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции 231 Задачи н унражнення к главе VI 232 VII. Определенный интеграл н его приложения 234 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 234 2. Определенный интеграл и его геометрический смысл 236 3. Суммы Дарбу и их свойства 238 4.Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции 240 5. Интегрируемость непрерывной функции 241 6. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва 244 7. Теорема о квазиинтегральной сумме 246 8. Простейшие свойства определенного интеграла 247 9. Свойство аддитивности интеграла 250 10. Интегральные теоремы о среднем 252 11. Интеграл с переменным верхним пределом 255 12. Формула Ньютона-Лейбница. Связь определенного интеграла с неопределенным 257 13.0 связи между дифференциальными и интегральными теоремами о среднем 259 14. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла 260 15. Новые формы остаточного члена формулы Тейлора 261 16. Замена переменной в определенном интеграле 263 17. Интегралы от четных и нечетных функций в симметричных пределах 264 18. Вычисление площадей фигур при помощи интегралов 265 19. Вычисление длин дуг при помощи интегралов 269 20. Вычисление объема при помощи интегралов 273 21. Вычисление площадей поверхностей вращения 275 22. Нахождение координат центров тяжести. Теоремы Гульдина 277 23. Примеры применения интегралов к решению физических задач.. 280 Задачи и унражнення к главе VII 284 VIII. Несобственные интегралы 288 1. Несобственные интегралы первого рода 288 2. Несобственные интегралы 2-го рода 294 3. Интегрирование по частям и замена переменной в несобственном интегра¬ле 299 Задачи и унражнення к главе VIII 302 IХ. Дифференциальное исчнсленне функций многих переменных 303 1. Точки и окрестности в w-мерном пространстве 303 2. Предел последовательности точек 305 3. Открытые и замкнутые множества в Rn 307 4. Линии и области в пространстве R 310 5. Понятие функции п переменных 311 6. Предел функции многих переменных 313 7. Повторные пределы 315 8. Непрерывность и разрывы функций многих переменных 317 9. Свойства непрерывных функций 319 10. Частные производные функции 321 11. Полный дифференциал функции 323 12. Применение полных дифференциалов в приближенных вычислениях 325 13. Дифференцирование сложных функций 327 14. Инвариантность формы полного дифференциала 329 15. Однородные функции. Тождество Эйлера 330 16. Частные производные высших порядков 331 17. Полные дифференциалы высших порядков 334 18. Формула Тейлора для функции многих переменных 335 19. Экстремум функции многих переменных 337 20. Необходимые сведения о квадратичных формах 338 21. Достаточные условия экстремума функции п переменных 339 22. Условный экстремум функции 344 23. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии 353 24. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 355 25. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных 357 26. Огибающая однопараметрического семейства плоских линий 358 Задачи и упражнения к главе IX 361 X. Кратные интегралы 363 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 363 2. Двойной интеграл и его геометрический смысл 364 3. Основные теоремы об интегрируемости функции 365 4. О свойствах двойного интеграла 366 5. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области 367 6. Вычисление двойного интеграла в случае произвольной области 369 7. Вычисление площади поверхности при помощи двойного интеграла 372 8. Физические приложения двойных интегралов 374 9. Тройной интеграл, его вычисление и применение 376 XI. Кратные интегралы в криволинейных координатах 382 1. Криволинейные координаты на плоскости 382 2. Элемент площади в криволинейных координатах 383 3. Вычисление площади в криволинейных координатах 385 4. Замена переменных в двойном интеграле 386 5. Интеграл Пуассона и его вычисление 389 6. Криволинейные координаты в пространстве 392 7. Элемент объема в криволинейных координатах 394 8. Замена переменных в тройном интеграле 396 Задачи и упражнения к главе XI 398 Литература 401 Оглавление 402
|