Математический анализ для инженеров. В 2 ч. Сенчук Ю.Ф.  

Часть 1
Предисловие 3
I. Введение в математический анализ 6
1. Основные логические символы 6
2. Простейшие понятия и обозначения теории множеств 6
3. Рациональные и иррациональные числа 8
4. Модуль числа и его свойства 11
5. Интервалы и промежутки 12
6. Постоянные и переменные величины. Классификация переменных 13
7. Функция и способы её задания 15
8. Область определения функции 16
9. Чётные и нечётные функции. Периодические функции 17
10. Однозначные и многозначные функции 18
11. Обратная функция 18
12. Основные элементарные функции 20
13. Сложные функции 25
14. Элементарные функции 26
Упражнення к главе 1 26
II. Предел числовой последовательности 28
1. Определение предела числовой последовательности 28
2. Простейшие свойства пределов числовых последовательностей 30
3. Бесконечно большие последовательности 32
4. Бесконечно малые последовательности и их свойства 34
5. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей 36
6. Лемма о стягивающихся отрезках 38
7. Точная верхняя и нижняя грани числовых множеств 38
8. Предел монотонной последовательности 41
9. Решение характерных примеров на признаки существования пределов числовой последовательности 42
10. Лемма Больцано-Вейерштрасса 48
Упражнення к главе II 49
III. Предел функции. Непрерывность функций 51
1. Предел функции в точке и на бесконечности 51
2. Односторонние пределы функции в точке 54
3. Свойства пределов функций 56
4. Второе определение пределов функции в точке и на бесконечности 59
5. Непрерывность функции в точке и на промежутке 62
6. Другие формы определения непрерывности функции в точке 63
7. Основные теоремы о непрерывных функциях 65
8. Непрерывность основных элементарных функций 66
9. Классификация точек разрыва функций 68
10. О строгих определениях основных элементарных функций 71
11. Основные виды неопределенных выражений и простейшие способы их раскрытия 72
12. Сравнение бесконечно малых 75
13. Эквивалентные бесконечно малые 77
14. Первый замечательный предел и его следствия 80
15. Число е как предел числовой последовательности 83
16. Второй замечательный предел 84
17. Следствия второго замечательного предела 86
18. 0 сравнении бесконечно больших величин 89
19. Теоремы Больцано-Коши 90
20. Условие непрерывности монотонной функции 93
21. Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции 94
22. Теоремы Вейерштрасса 95
23. Равномерная непрерывность функции 97
Упражнения к главе III 99
IV. Производная и дифференциал 103
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию производной 103
2. Производная, ее геометрический смысл 104
3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.. 106
4. Производная степенной функции 107
5. Основные правила нахождения производной 108
6. Производная показательной и логарифмической функций ПО
7. Производные тригонометрических функций 111
8. Производная обратной функции 112
9. Производные обратных тригонометрических функций 112
10. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций 113
11. Таблица основных формул и правил нахождения производных.... 114
12. Производная сложной функции 115
13. Дифференцирование неявных функций 116
14. Логарифмическое дифференцирование 118
15. Геометрические и физические приложения производных 119
16. Производные высших порядков 122
17. Формула Лейбница 123
18. Дифференциал функции 125
19. Инвариантность дифференциала 128
20. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 128
21. Дифференциалы высших порядков 130
22. Параметрическое задание функций и линий 130
23. Дифференцирование функций, заданных параметрически 134
Задачи и упражнення к главе IV 136
V. Применение производных к исследованию функций и лнннн... 138
1. Случаи недифференцируемости функций, непрерывных в данной точке 138
2. Теорема Ферма 139
3. Теорема Ролля 140
4. Теорема Лагранжа и её следствия 142
5. ТеоремаКоши 144
6. Возрастание и убывание функции на промежутке 144
7. Экстремум функции 146
8. О наибольшем и наименьшем значениях функции на промежутке 148
9. О решении задач на наибольшее и наименьшее значения 150
10. Выпуклость и вогнутость линий. Точки перегиба 151
11. Второе правило исследования функции на экстремум 153
12. Нахождение асимптот линий 154
13. Схема и пример полного исследования функции 156
14.Кривизна плоской кривой 158
15. Радиус кривизны и центр кривизны 160
16. Эволюта, эвольвента и их свойства 162
17. Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида — 
18. Раскрытие неопределённостей вида — по правилу Лопиталя 169
19. Раскрытие показательно-степенных неопределённостей 173
20. Приближённое вычисление корней уравнений методом хорд и касательных 174
21. Приближённое решение уравнений итерационным методом Пикара 180
22. Формула Тейлора 185
Задачи и упражнення к главе V 188
VI. Неопределенный интеграл н необходимые сведения из алгебры 191
1. Первообразная функция 191
2. Неопределенный интеграл и простейшие формулы интегрирования 193
3. Свойства неопределенных интегралов 196
4. Интегрирование по частям 198
5. Интегрирование путем замены переменной 200
6. Таблица основных интегралов 202
7. Комплексные числа и действия с ними 203
8. Геометрическая форма комплексных чисел 206
9. Тригонометрическая форма комплексных чисел 207
10. Последовательность комплексных чисел и ее предел 209
11. Комплексная степень числа е 210
12. Понятие о комплекснозначных функциях 213
13. Показательная форма и логарифм комплексного числа 215
14. Формулы Эйлера 216
15. Разложение многочлена на множители 217
16. Рациональные дроби и их разложение на простейшие 219
17. Интегрирование рациональных дробей 225
18. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.. 227
19. Об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции 231
Задачи н унражнення к главе VI 232
VII. Определенный интеграл н его приложения 234
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 234
2. Определенный интеграл и его геометрический смысл 236
3. Суммы Дарбу и их свойства 238
4.Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции 240
5. Интегрируемость непрерывной функции 241
6. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва 244
7. Теорема о квазиинтегральной сумме 246
8. Простейшие свойства определенного интеграла 247
9. Свойство аддитивности интеграла 250
10. Интегральные теоремы о среднем 252
11. Интеграл с переменным верхним пределом 255
12. Формула Ньютона-Лейбница. Связь определенного интеграла с неопределенным 257
13.0 связи между дифференциальными и интегральными теоремами о среднем 259
14. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла 260
15. Новые формы остаточного члена формулы Тейлора 261
16. Замена переменной в определенном интеграле 263
17. Интегралы от четных и нечетных функций в симметричных пределах 264
18. Вычисление площадей фигур при помощи интегралов 265
19. Вычисление длин дуг при помощи интегралов 269
20. Вычисление объема при помощи интегралов 273
21. Вычисление площадей поверхностей вращения 275
22. Нахождение координат центров тяжести. Теоремы Гульдина 277
23. Примеры применения интегралов к решению физических задач.. 280
Задачи и унражнення к главе VII 284
VIII. Несобственные интегралы 288
1. Несобственные интегралы первого рода 288
2. Несобственные интегралы 2-го рода 294
3. Интегрирование по частям и замена переменной в несобственном интегра¬ле 299
Задачи и унражнення к главе VIII 302
IХ. Дифференциальное исчнсленне функций многих переменных 303
1. Точки и окрестности в w-мерном пространстве 303
2. Предел последовательности точек 305
3. Открытые и замкнутые множества в Rn 307
4. Линии и области в пространстве R 310
5. Понятие функции п переменных 311
6. Предел функции многих переменных 313
7. Повторные пределы 315
8. Непрерывность и разрывы функций многих переменных 317
9. Свойства непрерывных функций 319
10. Частные производные функции 321
11. Полный дифференциал функции 323
12. Применение полных дифференциалов в приближенных вычислениях 325
13. Дифференцирование сложных функций 327
14. Инвариантность формы полного дифференциала 329
15. Однородные функции. Тождество Эйлера 330
16. Частные производные высших порядков 331
17. Полные дифференциалы высших порядков 334
18. Формула Тейлора для функции многих переменных 335
19. Экстремум функции многих переменных 337
20. Необходимые сведения о квадратичных формах 338
21. Достаточные условия экстремума функции п переменных 339
22. Условный экстремум функции 344
23. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии 353
24. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 355
25. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных 357
26. Огибающая однопараметрического семейства плоских линий 358
Задачи и упражнения к главе IX 361
X. Кратные интегралы 363
1. Некоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 363
2. Двойной интеграл и его геометрический смысл 364
3. Основные теоремы об интегрируемости функции 365
4. О свойствах двойного интеграла 366
5. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области 367
6. Вычисление двойного интеграла в случае произвольной области 369
7. Вычисление площади поверхности при помощи двойного интеграла 372
8. Физические приложения двойных интегралов 374
9. Тройной интеграл, его вычисление и применение 376
XI. Кратные интегралы в криволинейных координатах 382
1. Криволинейные координаты на плоскости 382
2. Элемент площади в криволинейных координатах 383
3. Вычисление площади в криволинейных координатах 385
4. Замена переменных в двойном интеграле 386
5. Интеграл Пуассона и его вычисление 389
6. Криволинейные координаты в пространстве 392
7. Элемент объема в криволинейных координатах 394
8. Замена переменных в тройном интеграле 396
Задачи и упражнения к главе XI 398
Литература 401
Оглавление 402