Курс высшей математики. Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ

Курс высшей математики. Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. 

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ

altОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . 6
Глава I. Неопределенный интеграл 8
§11. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства 8
§ 1 2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования . 17
§ 1.3. Интегрирование рациональных функций 34
§ 1.4 Метод рационализации. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций 43
$ 1.5. О таблицах неопределенных интегралов Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях 52
Глава II. Определенный интеграл 54
§2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона — Лейбница 54
§ 2.2*. Площадь как предел. Интегральные суммы Дарбу. Признаки существования определенного интеграла Вычисление площади с помощью интеграла. Классы интегрируемых функций 67
§ 2 3. Вычисление определенного интеграла Интегрирование разложением, подстановкой и по частям Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона 72
§ 2.4. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения .... 83
§ 2.5* Кривизна плоской линии. Центр и окружность кривизны Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной линии Формулы Френе .... 97
§ 2.6. Несобственное интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости . . 108
§ 2.7*. Интегралы, зависящие от параметра Непрерывность Дифференцирование и интегрирование по параметру Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 118
Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения 125
§3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений . . 125
§ 3.2*. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям 134
§ 3.3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах- уравнения в полных дифференциалах, с разделяющимися переменными, линейные, однородные, уравнение Бернулли 136
§ 3.4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации Метод Рунге — Кутта 149
§ 3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка 153
§ 3.6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Однородное линейное \равнение, его общее решение. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами 159
§ 3 7*. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (дополнения) *. 167
§ 3.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида f 170
§ 3.9*. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (дополнения) 179
§ 3.10*. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений 181
Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .... 185
§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений и векторная форма их записи. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об общем, частном, особом и составном решениях. Метод исключения 185
§ 4.2. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения Решение в случае простых корней характеристического уравнения .... 193
§ 4 3*. Структура общего решения линейной нормальной однородной системы с постоянными коэффициентами. Линейная независимость собственных векторов квадратной матрицы 203
§ 4.4. Нормальные системы линейных неоднородных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами. Векторно-матричная форма записи. Структура общего решения , . 206
Глава V. Элементы теории устойчивости 210
§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений 210
§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости 226
Глава VI. Кратные интегралы 231
§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический и физический смысл интегралов. Представление об интегралах любой кратности 231
§ 6.2. Вычисление двойных н тройных интегралов в декартовых координатах 240
§ 6.3. Переход от декартовых координат к полярным. Замена переменных в кратных интегралах Переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим 248
§ 6.4. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики 262
Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы 267
§ 7.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода Формула Грина 267
§ 7.2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов первого и второго роДа, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода 278
Глава VIII. Векторный анализ 288
§ 8.1. Скалярные и векторные ноля. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения Векторные линии и их дифференциальные уравнения 288
§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Формула Остроградского 293
§ 8.3. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля 298
§ 8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования . . 300 § 8 5. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычислениелинейного интеграла в потенциальном поле . , 306
§ 8.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в декартовых, цилиндрических и сферических координатах 308
Ответы к упражнениям 312
Литература 316
Предметный указатель . . . , 317
 

scroll back to top
 
 

Авторизация